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1、矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本
2、章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量和变矢A，如果对于在某个范围内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量的矢量函数，记作A=A （1.1.1）并称为矢函数的定义域。在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A （1.1.2）其中都是变量的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。本章所讲的矢量均指自
3、由矢量，所以，以后总可以把A的起点取在坐标原点。这样当变化时，A的终点就描绘出一条曲线（图1.1），这样的曲线称为矢函数A的矢端曲线，也称为矢函数A的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点也称为矢端曲线的极。由于终点为的矢量对于原点的矢径为当把A的起点取在坐标原点时，A实际上就成为其终点的矢径，因此的三个坐标就对应地等于其终点的三个坐标，即 （1.1.3）此式就是曲线的参数方程。只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2 设矢函数
4、A在点的某个领域内有定义（但在处可以无定义），A为一常矢。若对于任意给定的正数，都存在一个正数，使当满足时，就有|AA| 成立，则称A为A当时的极限，记作 A=A （1.1.4）矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如A=A （1.1.5）AB=AB （1.1.6）AB=AB （1.1.7）AB=AB （1.1.8） 其中为数性函数，A，B为矢函数；且时，A，B的极限均存在。若设A= i+ j+k则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有A=i+j+k （1.1.9）即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。定义1.1.3 若矢函数
5、A在的某个邻域内有定义，且有A=A （1.1.10）则称A在处连续。即矢函数A在处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数都在处连续。若矢函数A在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A在该区间内连续。或称A是该区间内的连续函数。1.2 矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。1、矢函数的导数设有起点在原点的矢函数A，当数性变量在其定义域内从变到时，对应的矢量分别为AA如图1.2.1，则A-A=称为矢函数A的增量，记作A，即A=A- A （1.21.）据此，我们给出矢
6、函数的导数定义。定义1.2.1 设矢函数A在点的某一个邻域内有定义，并设也在这邻域内，若A对应于的增量A与之比当时，其极限存在，则称此极限为矢函数A在点处的导数（简称导矢），记作，或，即 （1.2.2）若，且函数在点可导，则有即 （1.2.3）矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。例 1.2.1 已知，求导矢。解 例 1.2.2 设证明，及证 又所以。容易看出，为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆函数；与之相伴出现的亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆，如图1.2.2。2、导矢的几何意义如图1.2.1，设为的矢端曲线，是的割线上的一个矢量。当时，其指向与一致，指向对应值增大的
7、一方；当时，其指向与相反，如图1.2.3，但此时指向对应值减少的一方，从而仍指向对应值增大的一方。当时，由于割线绕点转动，且以点处的切线为其极限位置，此时，割线上矢量的极限位置，也就在此切线上，这就是说，导矢当其不为零时，是在点处的切线上，且方向恒指向对应值增大的一方。因此，导矢在几何上为一矢端曲线的切向量，指向对应值增大的一方。3、矢函数的导数公式设矢函数及数性函数在的某范围内可导，则在该范围内成立下列公式（1） （C为常矢）；（2）；（3）口否认 （k为常数）；（4）；（5）；特别，（其中）；（6）；（7）复合函数求导公式：若，则这些公式的证明方法，与微积分中数性函数的类似公式的证法完全相
8、同。例如（6）的证法如下以除上式两端，有再令，求极限可得例 1.2.3 证明定长矢量与其导矢互相垂直。证 假定常数，则有常数两端对求导，得这说明矢量与的数量积等于零，而这只有两者互相垂直时才有可能，故反之，若有，则有 ，从而 常数。所以 常数。由此可得，矢函数模不变的充要条件是。特别，对于单位矢量有利用矢量的可分解性：现说明的一个性质，因为为的函数，是A方向上的单位矢量，所以A的导数为 （1.2.4）因为垂直于单位矢量，也就垂直于，于是式（1.2.4）中的第一项平行于矢量，第二项垂直于矢量。即可分解为分别为与平行和垂直的两个分矢量的和。4、矢函数的微分（1）微分的概念与几何意义定义1.2.2
9、设为一矢函数，则 （1.2.5）为在处的微分。由于微分是导矢与增量的乘积，所以它是一个矢量，而且和导矢一样，也在点处与的矢端曲线相切，其指向随的符号而改变。当时，与的方向一致；当时，则与方向相反，如图1.2.4。微分的坐标表示式，可由（1.2.3）式求得，即或 (1.2.6)例 1.2.4 设，求及。解 （2）的几何意义如果矢函数Ai+j+k看作其终点的矢径函数i+j+k 这里，则（1.2.5）式又可写为rijk （1.2.7）其模为r （1.2.8）另一方面，若在有向曲线上，取定一点作为计算弧长的起点，并以之正向作为增大的方向，则在上任一点处，弧长的微分是按下述办法取右端符号：以点为界，当位
10、于增大一方时取正号；反之，取负号，如图1.2.5。由此可见，有r| （1.2.9）这就是说，矢函数微分的模等于（其矢端曲线）弧微分的绝对值。从而由r|=有 （1.2.10）再结合导矢的几何意义知，矢函数对（其矢端曲线）弧长的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向增大的一方。例 1.2.5 导矢的物理意义设质点在空间运动，其矢径与时间的函数关系为 这函数的矢端曲线，就是质点的运动轨迹，如图1.2.6。为了说明导矢的物理意义，假定质点在时刻时位于点处，经过一段时间后到达点，其间在上经过的路程为，这样点的矢径显然是路程的函数，而又是时间的函数，从而可看作是通过中间变量而成为时间的一个复合函数。由复合函
11、数求导公式有式中的几何意义，如前所述，是点的一个切向单位矢量，指向增大的一方。因此，它表示在点处质点运动的方向，以代之，而式中是路程对时间的变化率，它表示在点处质点运动的速度大小，如以表示，则由此可见，导矢表出了质点运动的速度大小和方向，因而它就是质点运动的速度矢量，即 （1.2.11）若定义二阶导矢，则为质点运动的加速度矢量。1.3 矢函数的积分与数性函数的积分类似，矢函数也有不定积分和定积分的概念，分述如下：1、矢函数的不定积分定义1.3.1 若在的某个区间上，有A，则称B为A在此区间上的一个原函数，在区间上，A的原函数的全体，称为A在上的不定积分，记作 （1.3.1）和数性函数一样，若已
12、知B是A的一个原函数，则有= B （1.3.2）其中为任意常矢。容易证明，数性函数不一定积分的基本性质对矢函数也成立：A （1.3.3） （1.3.4） （1.3.5） （1.3.6） （1.3.7）其中为常矢，为常数。若已知Ai j k，则由（1.3.4）与（1.3.5）式有ijk （1.3.8）即一个矢函数的不定积分，归结为求三个数性函数的不定积分。此外，数性函数的换元积分法与分部积分法也使用于矢函数。例1.3.1 若质点运动的方程是r=r ，则其速度为，加速度为，当质点运动的加速度为i j k时，求r与，其中r , 。解 ijk= i+ j+ k由于，因而，即i- j- k所以r= i j- k= ijk由于r，因而，于是ijk例 1.3.2 计算。解 用换元法，令，则例1.3.3 计算积分A。解 用分部积分法A 2、矢函数的定积分定义2 设矢函数A在区间上连续，则A在上的定积分是指下列和式极限 （1.3.9）其中为区间上上的一点；。可以看
