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1、刚体的转动惯量的讨论方法邵亮（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽 安庆 246011）指导教师：陈力摘要：冈U体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应用于刚体各种运动的动力学计算中。一般硏究均匀刚体和 不规则刚体的转动惯量。本文将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动 惯量错误计算的分析。从而使人们在学习刚体的转动惯量 时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解 各类刚体的转动惯量。关键词：刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析引言转动惯量是刚体定轴转动中的一个重要概念，在表征刚体转动的定理、定中都离不开此概念。体是指大小和形状保持不变的物体，而转
2、动惯量则是刚体转动时惯量大小的一个量度，是表征刚体特性的一个物理量。刚体转 动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。测量刚体的转动惯量对许多研究、设计工作都具有重要刚体的转动惯量定义冈咻的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J = E mi*riA2，式中mi表示刚体的某个质点的质量,ri表示该质点到转轴的垂直距离。求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分 布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状 的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不 规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动
3、力学计算中。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理： 刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方 的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。二.转动惯量概念的导出及其物理意义我们首先看看刚体绕一固定轴转动的特点,如果把刚体看成是质点的集合体,当刚体以角速度w匀速转动时，则刚体上的每一个质点在做绕定轴为中心的、不同半径的园周运动，各质点具有相同的角速度w。因此我们可以用诸质点的园周运动来代替刚体的转动,这个特点为我们硏究刚体的转动提供了方便条件。个质点
4、（或物体）的平动动能为Ek=?mv2 ,如果有一刚体以角速度w绕定轴转动时,欲求刚体的转动动能,该如 何计算?根据刚体转动的特点,可先在刚体上取任意一个质点，如图（一）所示,其质量m ,该质点到转轴的距离为ri ,转动时相应的线速度vi=wri ,它的转动动能为: I I I i整个刚滋的转动动能用戰和汁算得知均Ei S AEn S令厶仲冲： 该式叫转动惯量定义式，它表明转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平 方的乘积之总和，而与质点的速度无关，把I代入式（I）中就得到刚体的转动动能的数学表达式为：瓦二丄!*n（2）转动惯量的单位是：千克米12,符号为kg 5,量纲为ML
5、。转动惯量的物理意义，可从转动动能与平动动能的数学表达式相比较中看出，转动惯量I相当于质量m,诸如此类的对应关系还有，如：动量mv对应于动量矩lw,动量守恒定律刀mv=恒 量,对应于动量矩守恒定律万刀I w=|恒量,从对应关系的t匕较看，在数学表达式中的位置，表明I与m 具有相同的物理意义，所以我们说转动惯量是表征物体转动中惯性大小的量度。两者的物理意义虽 有相同之处,但也有不同的地方,质量m是不变的恒量,但转动惯量I除与质量有关外,还要由转轴 的位置，物体形状及质量分布情况而确定。三常用均匀刚体（一）常用均匀刚体的转动惯量的求法讨论1.利用如图1所示空心圆柱体对z轴的转动惯量的表达式进行计算
6、已知空心圆柱体（如图1）的转动惯量为I = m （ Ri2+R22）/2,则有:1当R仁R2时，得到薄壁圆筒（见图2 ）的转动惯量I = mR2.2当R仁0时，得到实心圆柱体（见图3）的转动惯量I= mR 2/2.Iti2耳呻汕闊ffj实归k卄I*3）因为上述空心圆柱体、薄壁圆筒和实心圆柱体对z轴的转动惯量和厚度L无关,所以对应有： 环形圆盘（见图4）的转动惯量匸m（ R2+r22）/2， 圆环（见图5）的转动惯量I= mR2.阳坏形卿啓：-5岡耳圆盘（见图6）的转动惯量I= mR 2/2.利用上述实心圆柱体的I二mR 72又可得到实心球（见图7）的转动惯量将实心球在与转动轴（z 轴）垂直的方
7、向上切成薄片薄片半径为r,厚度为dl,质量为dm根据几何关系即：r2= R2- （ R- 1） 2= 2Rl- l 2，MWr HpnPlTW 2mJ?7j利用上面实心球的l=2mR/5,还可得到空心球（见图8）的转动惯量。设空心球内径为R,外径为同密度的实心球，若以R为半径，则质量为m;若以R为半径，则质量为m。由m| =m l得 m i=J?|)m|= J| i故 / = 2廁：/?扌4 2卿|网丁 5=2m(r：” 飘u：- ff；)=2jfi(ffj+ h+ 慣卅* 匕w：*甘：1/时 ftj+ AbiAi+ ;(3|当式(3)中R= R时，得到球壳(见图9)的转动惯量i2l=2mR/
8、3R1= 0时，可以反过来得到实心球的I二2mR 2/5.医s先心M?陪9埠壺2.利用如图10空心圆柱体对z轴的转动惯量的表达式进行计算已知如图10所示的空心圆柱体对Z轴的转动惯量为亠性如_空亠必则有：1) 当匕=R2时，得到薄壁圆筒(见图11)的转动惯量IX 10紀心糊村作禺LI簿吨阿鬧2) 当R1= 0时，得到实心圆柱体(见图12)的转动惯量2 2I = ( mR /4) + ( ml /12)(6)3）当1=0时，由式、（5）、（6）可以对应地得到： 环形圆盘（见图13）的转动惯量I = m（ RI2+R2）/4. 圆环（见图14）的转动惯量I = mR 72. 圆盘（见图15）的转动惯
9、量I = mR 74.115 HIit圏M圆坤4）当R= 0时，由式I = ml2/12.可以得到棒A （见图16 ）的转动惯量W 16 H 5）禾I用棒A的转动惯量I = ml 712可以得到棒B （见图17 ）的转动惯量.爲 17 H K对于棒B,设质量为m,长度为1,转动惯量为I，则将两根棒B直线连接后的棒A有= 2I= ( 2m) (21) /12故 I= m12 /3除此以外，还可以由实心圆柱体的转动惯量表达式推得空心圆柱体和薄壁圆筒的转动惯量，或者由薄壁圆筒的转动惯量表达式积得实心圆柱体和空心圆柱体的转动惯量 亦可以由空心圆柱体和薄壁圆筒的转动惯量表达式分别积得空心球和球壳的转动惯
10、量 等等.在此不一一列举.由此可见，因形状上的联系，这些常用规则形状均匀刚体的转动惯量之间也存在联系，它们可 以相互推导在使用中,只需要记住很少的几个公式,就可由此推出其它刚体的转动惯量.二)巧算一类均质刚体的转动惯量1.证明及通式的推导设物体的质量为m,通过物体质心C的轴的方向用j表示该物体对j轴的转动惯量表示为匸 kml2( 1)其中k是常数，由物体的形状和j的方向决定,1是物体的特征尺寸.现把物体分成n个小块，其形状和取向都和原物体一样每个小块对质心的转动惯量都可以用式(1)表示，且常数k相同，但m、I的值却不同则物体的转动惯量可以表示为1-(7)EI其中Ii是第i个小块对通过质心C的轴
11、的转动惯量.由平行轴定理知2/it ) +itj 3)其中m是第i个小块的质量，r是从C点到第i个小块的质心的位置矢量，a是第i个小块对通iii过自身质心并与j平行的轴的转动惯量如果每个小块的尺寸是原物体的一半，那么可以表示为把式(1)代入式(4)得式(2)变为又因为有n个相等的小块，故m二m/ n,化简得i其中n二2d, d是物体的维数.例1:如图1所示，质量为m的均质薄矩形物体,边长为a、b, C为矩形的质心，转轴通过矩形 质心，且与矩形b边平行求物体对转轴的转动惯量.戈1因为矩形是二维的，所以n= 2 2= 4,即可把原矩形分4个尺寸是原物体尺寸的一半的相似矩形小块，所以/=如3x 4L
12、所示，质量为m的均质长方体，长、宽、高分别为a、b、h,取长方，坐标轴-尸-晶ZFBE 例2:如图2体质心为坐标原点先求长方体对x轴的转动惯量，因为长方体是三维的，所以n二23= &即可把长方体分为：8 个尺寸是原物体尺寸的一半的相似长方体小块，每个小长方体小块的八八U,则长方体对16 _+ h2乙6x轴的转动惯量为二12同理，长方体对y、z轴的转动惯量分别为Ax、y、z分别平行三条棱边求其对三个坐标轴的转动惯量.如果 a= b= h= l, 是 I=ml2 /6。则长方体变为立方体，此时立方体对x、y、z轴的转动惯量都I干1例3:如图3所示质量为m的均质薄三角形物体，边长分别为a、b、c,底
13、边上的高AH长为h，三a边的中线AD、BE GF相交于一点C,C就是三角形的质心，转车由MN通过质心且与a边平行求物体对转轴MN的转动惯量.因为薄三角形是二维的，所以可以把原三角形分为4个尺寸是原物体尺寸的一半的相似三角形小块,但位于中间的三角形小块的质心与原物体的质心重合，即r =0,所以有i四复杂不规则刚体测试原理和方法先使系统处于匀速转动状态，然后突然切断电源，并使电机电枢短路，这时系统就会由匀速转动状态，逐步过渡到静止状态，过渡时间与转动惯量有关，为求得其关系,可列出运动方程式中w系统的角速度方程的初始条件为：t= 0时w（）二M/R式中M电机转矩（r）R系统的阻尼系数系统的角速度将由
14、初始速度w = M/ R下降到初始速度o一呂亠畀阻尼小时取式（3）,阻尼大时取式（2）。由此测得w由w减o方程的解为：的0. 368倍，即t= I / R时,w二0. 368w，当然也可取：o2* 3* 4速到0. 368wT所需的时间,以及系统的阻尼系数R,既可求得系统转动惯量一门。同样，为避免求R,可o附加一惯量,并测得对应的时间常数，则系统转动惯量可推导得出：I- KTTI -晒？ = / = A/(4/11 wIA/=i-I我们通过加规则体可以准确的算出,那么如何准确的测出时间：是问题的关键。目前多数情况下是采用人工秒表计时，然后平均的方法得到,误差比较大,本文利用PS-2129的3倍
15、 16位定时/计数器,计数过程完全不需人的介入,因而也就避免了计时过程中人为因素产生的误差。五对刚体的转动惯量错误计算的分析转动惯量是物理学中的重要概念，它是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量1 ,2由定义式 J=E( Amiri )可看出，转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。如果刚体的质点是连续分布的，则其转动惯量可用积分进行计算，即 J=/r2dm。公式看上去很简单，但是在运用积分求解转动惯量时，往往由于积分方法的错误而导 致错误的结果，现以匀质等腰三角形薄板为例，具体分析一下出现计算错误的原因。h两种不同例：一匀质等分三角形薄板ABC,高为h，底边长为a，咬1所示，
