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1、2020-2021学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法课时素养评价北师大版选修2-22020-2021学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法课时素养评价北师大版选修2-2年级：姓名：课时素养评价六数学归纳法(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成()A.假设n=2k+1(kN+)时正确，再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(kN+)时正确，再推n=2k+1时正确C.假设n=k(kN+)时正确，再推n=k+1时正确D.假设n=k(kN+)时正确，再推n=k+2时正
2、确【解析】选B.因为n为正奇数，所以证明时，归纳假设应写成：假设当n=2k-1(kN+)时正确，再推出当n=2k+1时正确.2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k+1成立时，总能推出f(k+1)k+2成立，那么下列命题总成立的是()A.若f(1)2成立，则f(10)11成立B.若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k+1成立C.若f(2)3成立，则f(1)2成立D.若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k+1成立【解析】选D.当f(k)k+1成立时，总能推出f(k+1)k+2成立，说明如果当k=n时，f(n)n+1成立，那么当k=n+1时，f(n+1)n+
3、2也成立，所以如果当k=4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k+1也成立.3.用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23【解析】选D.当n=1时，左边=1+2+22+23.4.对于不等式n+1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n=1时，1+1，不等式成立.(2)假设n=k(kN*)时，不等式成立，即k+1，则n=k+1时，=时，f(2k+1)比f(2k)多的项为_.【解析】f(2k+1)-f(2k)=1+-=+.答案：+7.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直
4、线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=_；当n4时，f(n)=_(用含n的代数式表示).【解析】如图，4条直线有5个交点，则f(4)=5.由f(3)=2，f(4)=f(3)+3，f(n-1)=f(n-2)+n-2，f(n)=f(n-1)+n-1，累加可得f(n)=2+3+(n-2)+(n-1)=(n-2)(n-1+2)=(n-2)(n+1).答案：5(n-2)(n+1)三、解答题8.(15分)用数学归纳法证明=(n2，nN+).【证明】(1)当n=2时，左边=1-=，右边=，所以左边=右边，所以n=2时等式成立.(2)假设当n=k(k2，kN+)
5、时等式成立，即=，那么当n=k+1时，=，即当n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知，对任意n2，nN+等式恒成立.【加练固】用数学归纳法证明：12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).【证明】(1)当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1(21+1)=-3，所以左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(n1，nN+)时等式成立，即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+-=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k
6、+1)-4(k+1)2=(k+1)=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)=右边，所以当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立.(15分钟30分)1.(5分)用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”，利用归纳法假设证明n=k+1时，只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3【解析】选A.假设n=k时，原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除，当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.2.(5分)下
7、列代数式(其中kN+)能被9整除的是()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【解析】选D.(1)当k=1时，显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(nN+，n1)时命题成立，即3(2+7n)能被9整除.当k=n+1时，3(2+7n+1)=21(2+7n)-36也能被9整除.这就是说，当k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知，3(2+7k)能被9整除对任何kN+都成立.3.(5分)用数学归纳法证明+cos +cos 3+cos(2n-1)=sincos(n，nN+)，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是_.【解析】由等式的特点知，当n=1
8、时，左边从第一项起，一直加到cos(2n-1)，所以左边计算所得的项是+cos .答案：+cos 4.(5分)用数学归纳法证明“当nN+时，求证：1+2+22+23+25n-1是31的倍数”，当n=1时，原式为_，从n=k到n=k+1时需增添的项是_.【解析】当n=1时，原式应加到251-1=24，所以原式为1+2+22+23+24，从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+25(k+1)-1.答案：1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+45.(10分)已知fn(x)满足f1(x)=(x0)，fn+1(x)=f1(fn(x).(1)求f2(x)，f3(
9、x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.【解析】(1)f2(x)=f1(f1(x)=，f3(x)=f1(f2(x)=，猜想：fn(x)=(nN*).(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(nN*).当n=1时，f1(x)=，显然成立；假设当n=k(kN*)时，猜想成立，即fk(x)=，则当n=k+1时，fk+1(x)=f1fk(x)=，即对n=k+1时，猜想也成立；结合可知，猜想fn(x)=对一切nN*都成立.1.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1
10、+1个区域；2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域；n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=个区域.【加练固】用数学归纳法证明“n3+5n(nN+)能被6整除”的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)3+5(k+1)应变形为_.【解析】证明当n=k+1时，n3+5n能被6整除，一定要用到归纳假设“k3+5k能被6整除”，所以需将(k+1)3+5(k+1)化成含有(k3+5k)的形式，使用拼凑法.(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+8k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案：(k3+5k)+3k(k+1)
11、+62.是否存在a，b，c使等式+=对一切nN*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论.【解析】取n=1，2，3可得解得：a=，b=，c=.下面用数学归纳法证明+=.即证12+22+n2=n(n+1)(2n+1)，n=1时，左边=1，右边=1，所以等式成立；假设n=k时等式成立，即12+22+k2=k(k+1)(2k+1)成立，则当n=k+1时，等式左边=12+22+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)，所以当n=k+1时等式成立；由数学归纳法
12、，综合知当nN*时等式成立，故存在a=，b=，c=使已知等式成立.【加练固】已知数列，(nN+)，计算S1，S2，S3，由此推测出Sn 的计算公式，并用数学归纳法证明.【解题指南】由题已知数列的通项公式，可分别求出S1，S2，S3，进而通过观察猜想出Sn的公式.再由猜想.需通过数学归纳法进行证明，分两步进行：(1)归纳奠基，(2)归纳递推而证出.【解析】S1=，S2=，S3=，推测Sn=.(1)当n=1时，左边=，右边=，左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(k1，kN+)时等式成立，即有+=，则当n=k+1时，+=+=，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可知，对一切nN+等式都成立.
