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1、 如何求二次函数的解析式湖北省郧西县马鞍镇初级中学 杨耀军 442633 二次函数解析式的求法,由于类型繁多、灵活性较大,常常让人感到难于掌握.本文将此问题归纳为六种类型,仅供同学们学习参考. 一、三点型 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a、b、c 即得解析式 例1、已知抛物线经过三点A (2,-6),B (3,-8),C (6,10),求它的解析式 解：设抛物线的解析式为 y =ax2+bx+c ,由已知可得 解之得 抛物线的解析式为y= 2x 212x +10 二、顶点型 即已知抛物线的顶
2、点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( xh )2 +k ，求出a、k可即得解析式 。 例2已知抛物线的顶点坐标为A( 2, 8 ),且经过点B( 5 ,1 ),求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析为y=a( x - 2)2+ 8 ,由已知可得 1 = a ( 52 ) 2 + 8 解之得 a=1 抛物线的解析式为 y=(x2 ) 2+8 ,即y=x 2 + 4x + 4 三、交点型 即已知抛物线与X轴的两个交点的坐标A(x1 ,0 ) ,B(x2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(xx 1)(x x 2),求出a即得
3、解析式 例3、 已知二次函数的图象与X轴交于A(3,0), B(1,0),且经过点C(2,5),求抛物线的解析式. 解：设解析式为y=a(x +3)( x1),把点C的坐标代入得5=a (2+3)(21),解之得 a=1 抛物线的解析式为y=(x3)( x1),即y=x 22x2 四、对称点型 即已知抛物线上的两个对称点A(x 1, m ), B(x 2 , m ),求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(xx 1)( xx 2 )+m , 求出a即得解析式 例4、 已知抛物线经过两点A(1,3) , B (1, 5) , 且对称轴是直线x =2,求抛物线的解析式. 解：由题意可知抛物线一
4、定经过点A关于直线x =2的对称点C(5,3),所以可设解析式为 y=a(x1)( x5 )3 把B的坐标代入得5=a (11)(15)3,解之得a =1 抛物线的解析式为y=(x1)( x5 )3,即y=x 2 + 4x +2 五、平移型 即将已知抛物线沿X轴或Y轴平移到一个新的位置,求这时的抛物线解析式.我们知道将抛物线平移,形状不变,只有位置发生变化,也就是顶点坐标发生变化.所以可以将原来的解析式化为顶点式,再按照“上下y加减,左右x加减”的规律性得所求的函数解析式。若已知移动后的解析式,也可以反过来利用这个规律性求原来的解析式。 例5、 将抛物线y=x 2+ 4x5向左平移2个单位再向
5、上平移5个单位,求此抛物线的解析式. 解：原抛物线的解析式可变形为y=(x+2 )29 ,根据法则知道所求解析式为y=(x22)295=(x4)24 练习:将抛物线向左平移2 个单位再向下平移1个单位后得到抛物线为y=x 23x2,求原抛物线的解析式. 六、综合型 即已知条件不象前5种那样单一,没有明显的解析式特点这时一般要综合分析已知条件求出抛物线经过的三个点坐标然后用待定系数法求解析式 例6、 如图,二次函数y =ax 2+bx +c的图象与x轴交与A、B两点,与y轴交与C点,且AC=20, BC=15,ACB=90,求这个二次函数的解析式. 解：在RtABC中 AB= = =25 S ABC = ACBC = ABOC , OC= =12 AC2 =ACAB OA = =16 OB=ABOA= 9 从而得A(16, 0 ), B (9,0), C ( 0,12), 于是可得函数解析式为 y =x2 x12本文刊载于数学周报20052006第20期
