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1、知识点一平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos 投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积特别提醒：(1)两非零向量a，b，则a与b夹角为AOB，其范围是0，；(2)数量积是一个实数；(3)零向量与任一向量的数量积为零知识点二平面向量数量积的性质及运算律1数量积的重要性质对于非零向量a，b，(1)eaae|a|cos ，其中为a与e的夹角，e为单位向量；(2)abab0；(3)
2、当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aa|a|2，|a|；(4)cos ，其中为a与b的夹角；(5)|ab|_|a|b|.2数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.知识点三平面向量数量积、模、夹角的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2.(2)|a|或|a|2xy.(3)cos .知识点四向量垂直的充要条件设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20(a，b为非零向量)题型一向量的夹角与模的问题例1(1)(2016年10月学考)设向量a(x2,2
3、)，b(4，y)，c(x，y)，x，yR，若ab，则|c|的最小值是()A. B. C. D.(2)(2016年4月学考)已知平面向量a，b满足|a|，be1e2(R)，其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|ab|，则e1，e2夹角的最小值为()A. B. C. D.答案(1)B(2)B解析(1)由题意得ab(x2,2)(4，y)0，即2xy4.方法一|c|.方法二|c|，即直线2xy40上的点(x，y)到原点(0,0)的距离，|c|min.(2)|ab|，a22abb2|b|2|b|cosa，b，|b|2|b|cosa，b0，即|b|cosa，b即|b|，|
4、e1e2|2，设e1与e2的夹角为，则e2|e1|e2|cos 2e，|e1|e2|1，则2(2cos )0，4cos240，cos ，又0，的最小值为.感悟与点拨(1)求夹角或模可以直接利用公式：cos ，|a|.(2)利用|a|2a2，即|a|.(3)利用方程与函数的思想构建关于角或模的函数或方程求解跟踪训练1(1)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|等于()A1 B3 C4 D5(2)(2018年4月学考)若平面向量a，b满足2ab(1,6)，a2b(4,9)，则ab_.(3)已知ABC外接圆的圆心为O，且20，则AOC_.答案(1)C(2)2(3)解析(1)根据条
5、件，(ab)2a22abb293|b|b|213，解得|b|4或|b|1(舍去)(2)2ab(1,6)，a2b(4,9)，a(2,1)，b(3,4)，ab(2,1)(3,4)642.(3)设|OA|OB|OC|1，2，两边平方，124412312，cos，0AOC，AOC.题型二向量的平行与垂直例2已知平面向量a(2，x)，b(2，y)，c(3，4)，且ac，bc，则a与b的夹角为_答案解析ac，83x0，解得x.bc，64y0，解得y.a，b.设a与b的夹角为，且0，则cos 0，即向量a与b的夹角为.(2)在ABC中，点A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为边BC上的高，求与点D
6、的坐标解设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，点D在直线BC上，即，共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)得x2y10.又，0，即(x2，y1)(6，3)0，即2xy30.由，得x1，y1，(1,2)，点D的坐标为(1,1)感悟与点拨a(x1，y1)，b(x2，y2)，b为非零向量(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.跟踪训练2(1)设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值为()A BC. D.答案A解析c(1k,2k)，又bc0，1k2k0，k.(2)在平面四边形ABCD中，向量a(4,1)，b(3
7、，1)，c(1，2)若向量a2b与向量bkc垂直，求实数k的值；若mn，求实数m，n.解向量a2b与向量bkc垂直，(a2b)(bkc)0.(10，1)(3k，12k)0.3010k12k0，k.(2，3)，(2,3)(6，2)，(6,2)，(1,2)mn，(2,3)m(6,2)n(1,2)，解得题型三平面向量的综合应用例3(1)已知平面向量a，b满足|a|b|2，存在单位向量e，使得(ae)(be)0，则|ab|的取值范围是_(2)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，ab1，若c为平面单位向量，则|ac|bc|的最大值是_答案(1)1，1(2)解析(1)由(ae)(be)0，得ab1e(
8、ab)，所以|ab1|e(ab)|ab|，即(ab1)2|ab|2，所以(ab)27，所以ab，所以|ab|1，1(2)|ac|bc|，其几何意义为a在c方向上的投影的绝对值与b在c方向上投影的绝对值的和，当c与ab共线时，取得最大值(|ac|bc|)max|ab|.感悟与点拨(1)熟练进行数量积、模、夹角的计算与转化(2)充分利用向量加减运算，数量积运算的几何意义(3)充分利用“数形结合”(4)将向量坐标化，通过坐标运算来解决问题跟踪训练3(1)已知点G为ABC的重心，A120，2，则|的最小值是()A. B. C. D.(2)已知向量a，b，|a|1，|b|2，若对任意单位向量e，均有|a
9、e|be|，则ab的最大值是_答案(1)C(2)解析(1)设BC的中点为M，则.又M为BC的中点，所以()，所以()，所以|.又因为2，A120，所以|4.因为|，当且仅当|时取“”，所以|的最小值为，故选C.(2)因为|(ab)e|aebe|ae|be|，所以|(ab)e|ab|，平方得|a|2|b|22ab6，即12222ab6，则ab，故ab的最大值是.一、选择题1设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案C2已知向量a(1,2)，ab5，|ab|2，则|b|等于()A. B2C5 D25答案C3已知向量a，b满足ab(1，3)，ab(3,7)
10、，则ab等于()A12 B20 C12 D20答案A解析方法一(ab)(ab)2a(4,4)，a(2,2)，b(ab)a(1，5)，ab2(1)2512.方法二(ab)2(ab)248，4ab48，ab12.4已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则等于()Aa2 Ba2C.a2 D.a2答案D解析如图所示，()2a2aacos 60a2.故选D.5已知向量a，b满足|a|2，a(ba)3，则b在a方向上的投影为()A. B C. D答案C解析|a|2，a(ba)3，aba2ab223, ab1，向量b在a方向上的投影为.故选C.6.如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，
11、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是()A2 B0 C1 D2答案D解析由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且，反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)21因为0t2，所以当t1时，()取得最小值2，故选D.7在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是()A. B.C. D0,1答案C解析如图，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M，设E(x,0)(0x1)，所以(1x,1)，所以(1x)(1x)1x22x(x1)2.因为0x1，所以当x1时，()min；当x0时，()max.8.如图，在ABC中，D是BC的中点，|3，点P在AD上，且满足，则()等于()A4 B2C2 D4答案D解析由|3，点P在AD上，且满足，可得|1，|2，由D是BC的中点，可得2，即有()22|2124.9.如图，在平行四边形ABCD中，AB8，AD5，3，2，则等于()A22 B23C24 D25答案A
