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1、 第一章 正交实验设计1.1概述一实验设计的目标 任何一个试验都存在：如何安排试验及如何分析试验结果 这两个问题。对于科学的实验设计应能做到： 1). 试验次数尽可能少； 2). 少量试验所获数据能得出正确结论。 对单因素或双因素的实验设计，可进行全组合，逐一交叉重复的实验方式，即可以进行全面实验（但水平数必须有限）。对多于两个因素的，单用全面实验方法，其工作量将随因素的个数按指数方式剧增，即不经济，又费时间。这种全面实验方法不叫优选法，而叫选优法。 对于单因素试验，可采用0.618法，对分法，平行线法，交替法，调优法等优选法进行试验，以减少试验次数。对多因素，正交实验设计是一种显著有效的方法
2、。正交试验设计就是利用正交表来合理安排试验的一种方法。二. 基本术语试验因素：对试验结果可能会产生影响的原因，是实验过程中的一些自变量，或称条件变量，是输入参数。如炼钢中的某些特种元素的含量，机加工中的刀具形式、走刀量等。试验指标：试验研究的指标，即实验得出的结果(输出的参数)。水 平：试验因素在试验中所选取的具体状态（或水平）。如考察刀具磨损。对普通碳素钢：切削角 转速 钢硬度（）（r/min） （HB） 若温度也为实验因素，如取其三个水平分别为50、20及60。水平之间的差异也称为水平级位，模糊的说法为低温、常温和高温。三. 正交设计实验解决的问题(1). 因素对实验指标的影响，即能分清主
3、要因素和次要因素，或甚微因素和忽略因素。(2). 找出较好方案的组合，形成最优的生产条件。必要时，对生产过程作出预报。上例中，就有这样的问题，选怎样的组合，使刀具磨损最小。选择怎样的温度，工艺性最好。1.2正交表一.拉丁方与正交表正交实验最早起源于拉丁方设计思想18世纪，普鲁士费里德里希.威廉二世，要举行一次与往常不同的六列方队阅兵式。他要求每个方队的行和列都得由六种部队得六种军官组成，不得有重复和空缺。这样，六个方队中，部队、军官、行和列全部排列均衡。群臣们冥思苦想，无一人能排出这样的方阵来。后来向当时著名的数学家 Eular请教，由此引起了数学家们的极大兴趣，提出了一个有趣的数学问题：所谓
4、36个军官问题，当时用不同的拉丁字母A, B, C表示军官，,表示为团队，交叉排列方阵，称为希腊拉丁方阵。简称拉丁方阵。因希腊字母有限，改用脚标为自然数序列排的方阵，为n阶拉丁方阵。当，称为正交拉丁方阵。直到1901年，G.Tarry才证明“36个军官的正交问题”为无解。但借用拉丁方阵的构造解决了不少的多因素实验优化问题。数学家们如此重视一个君王独出心裁的阅兵式，并不是为了组织什么花样方阵，而是为了研究具有普遍意义的新的数学思想，即均衡分布的思想，这正是今天正交试验设计的思想基础。 例：有三个因素，每个因素有三个水平的实验，需进行种全组合搭配试验。9个区域的每个区域中，两个水平是固定的，只有一
5、个因素是变动的，在相邻的区域的同一行上也是一个因素在变。 上述全搭配试验太多，能不能减少一些呢？能否每次保留一个因素水平而变动其余的水平进行比对试验呢？ 正交试验设计能减少试验次数，又能兼顾均匀搭配的效果！二.正交表(1). 定义设A是nk的矩阵，它的第j列元素由1，2，j构成（也可用别的符号），如果矩阵A的任意两列元素都搭配均匀，就称A是一个正交表。如87的矩阵： 注意到，任意两列的相邻元素所构成的都是完全有序对，都包含有四个相同的数字对（1，1），（1，2）,（2,1），（2，2），因此A是一个正交表。正交表的性质：（1） 每一列中各数字（或称水平）出现的次数相同；如上例中都是4次。（2）
6、 任意两列的号码所构成的水平对中。每个水平对重复出现的次数相同。如上例中每个水平对重复出现2次。正交表的特点：搭配均匀性、组合代表性、综合可比性。(2). 正交表的种类:a).标准表凡是标准表，水平数都相等，且水平数只能取素数或素数幂，利用标准表可考察因素之间的交互作用。根据正交表设计的思想，运用数学方法，将正交实验中多种因素和水平搭配的结果编成表格，这种规格化的表格称为正交实验设计表，简称正交表。简记为符号:.其中 L-表示正交表n-表示实验方案的个数（表的行数）m-表示试验因素的水平数k-表示最多可安排因素的数目（表的列数）常见的水平数相同的正交表有：二水平正交表：、等三水平正交表：、四水
7、平正交表：、 (1.1) 五水平正交表：、最简单的，做四次试验，最多安排2个水平3个因素（而全做次）。正交表行列（1）（2）（3）1111212232124221b). 混合型正交表 如混合型正交表。表示1个因素是4个水平的，4个因素是2个水平的，不等水平的混合。其中第一列与其他列的搭配是均匀的。行 列（1）（2）（3）（4）（5）111111212222321122422211531212632121741221842112还有如 (1.2) 正交表的构造是一个复杂问题，并非给定参数就能构造正交表，一般查用现成即可，下面仅介绍一般的构造方法。(3).正交表构造的一般方法正交表的构造是一个组合
8、数学问题，不同类型的表构造方法差异很大。(a).正交表的正交性及其变换性 线性代数中，两个向量和，如果内积为0，即 称该两向量正交。正交性： 正交表每一列可看成一个列向量，表中数字为因素水平记号（可以数字，或其它代号表示，无本质区别），如二水平的记为1，2，分别用1，1来代替也可以。任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即（1，1），（1，1），（1，1），（1，1），重复出现次数相同。则：即二水平正交表任意两列是正交的。 变换性：表的列地位平等，各列可以置换；表的行地位平等，各行可以置换；同一列中的水平可以置换。上述称为正交表的三种初等变换，经初等变换后的正交表与原表是等价的（或称同构）
9、。（b）有限域的概念由全体有理数组成的集合中，其元素是无限多，因此是无限域。因素和水平数字是有限的，所以它们的域是在有限域内。记U是一个有限域，一个有限域至少有两个元素，设是由3个元素0和1、2组成，元素之间可满足加或乘法的定义，但集合的加法和乘法结果显然不属于（如1+2=3）,但如果我们新定义两个代数运算（这种运算法则使得运算结果仍是集合中的元素）：或：乘法 q为正整数，t为U集中元素的个数。例： 加法 乘法 +01001110010001011+1=2，22/2=1,无余数，故为零。加法 乘法012001211202201012000010122021加法 减法+0123400123411
10、234022340133401244012301234000000101234202413303142404321计算结果表明，每行每列均构成独立向量，彼此无关。正交表便利用这种算法构造因素水平的顺序。一般可以设m为因素的水平数， k为因素个数，则全组合的试验次数Q为（即k维向量的总数）： 其独立向量个数的计算式为：例如：，三维向量全组合。但其独立向量： 于是可利用向量的运算法则构造27行、13列的正交表，（c）型正交表构成以表说明其构成方法，是4因素，3水平。其中取两维向量个（即试验的总次数为9），按顺序置于表的最左列，其独立向量只有4个（4个因素），依次置于正交表的最上面一行各列中，即（1
11、，0），（0，1），（1,1）,(2,1)。行向量，独立的有序对。列向量以表示,水平表中的各水平数，即对应行、列向量交叉处的数字，则：第一行、第一列元素：第二行、第二列元素： 第九行、第四列元素：注意到，其结果是按有限域运算法则计算得出。的构造 列号行1234号（1，0）（0，1）（1，1）（2，1） （0，0）10000 （0，1）20111 （0，2）30222 （1，0）41012 （1，1）51120 （1，2）61201 （2，0）72021 （2，1）82102 （2，2）92210三.正交表的正确选用为充分利用正交表的均衡性与可比性特点，力求达到实验次数少，但能得到实验精度较高的优化设计，为此，选择时尽量满足下列要求：(1).水平数相符 等水平实验设计，满足水平相符要求。不等水平试验设计，可选用混合水平正交表。如没有，可用现有规格化的正交表进行改造（后述）。(2).列数容限要求 每一个因素占一列位置。因此选表的列数必须全部能容纳全部因数，当存在空列时，可以将多余空列用来计算实验误差（比重复试验更为经济）。应选择列数最少的正交表，称为列数容限要求。(3).满足行数要求 行数是各个因素的水平组合，这种组合之间有些是相关的，或者说
