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1、-让每一个人同等地提高自我任职研究生考试数学测试练习题微积分（1）设y(x)是微分方程y(x1)yx2yex的满足y(0)0，y(0)1的解，则limy(x)x（）x0x2（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解limy(x)xlimy(x)1limy(x)1，x22x2y(0)x0x0x02将x0代入方程，得y(0)(x1)y(0)x2y(0)1，又y(0)0，y(0)1，故y(0)2，所以limy(x)xx21，选择B.x0/（2）设在全平面上有的条件是（）（A）xx2，y11（C）x1x2，y1f (x,y)xy2.y2.0，f(x,y)0，则保证不等式f(x1,y1)
2、f(x2,y2)建立y（B）x1x2，y1y2.（D）x1x2，y1y2.解f(x,y)0f(x,y)对于xx单一减少，f(x,y)f(x,y)对于y单一增添，0y当x1x2，y1y2时，f(x1,y1)f(x2,y1)f(x2,y2)，选择A.（3）设f(x)在(,)存在二阶导数，且f(x)f(x)，当x0时有f(x)0，f(x)0，则当x0时有（）（A）f(x)0,f(x)0.（B）f(x)0,f(x)0.（C）f(x)0,f(x)0.（D）f(x)0,f(x)0.解【利用数形联合】f(x)为奇函数，当x0时，f(x)的图形为递减的凹曲线，当x0时，f(x)的图形为递减的凸曲线，选择D.（
3、4）设函数f(x)连续，且f(0)0，则存在0，使得（）1-让每一个人同等地提高自我（A）在(0,)内单一增添（B）在(,0)内单一减少（C）对随意的x(0,)，有f(x)f(0)（D）对随意的x(,0)，有f(x)f(0)解【利用导数的定义和极限的保号性】f(0)limf(x)f(0)0，x0x由极限的的保号性，U(0,)，在此邻域内，f(x)f(0)0，所以对随意的x(,0)，x有f(x)f(0)，选择D.|x|sin(x2)f(x)1)(x2)2(5)函数x(x在以下哪个区间内有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).A【剖析】如f(x)在(a,b)l
4、imf(x)limf(x)内连续，且极限xa与xb存在，则函数f(x)在(a,b)内有界.limf(x)sin3x0,1,2时，f(x)18，【详解】当连续，而x1limf(x)sin24x0，limsin2limf(x)limf(x)f(x)4x0，x1，x2，所以，函数f(x)在(1,0)内有界，应选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭区间a,b上有界；如函数f(x)limf(x)在开区间(a,b)内连续，且极限xa与limf(x)存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.xb（6）设f(x)在(,+limf(x)a)内有定义，且x，2-让每一个人
5、同等地提高自我g(x)f(1),x0x0,x0，则(A)x=0必是g(x)的第一类中断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.Dlimg(x)【剖析】考察极限x0能否存在，如存在，能否等于g(0)即可，经过换u1x，元limg(x)limf(x).可将极限x0转变为xlimg(x)limf(1)limf(u)u1【详解】因为x0x0xu=a(令x)，又g(0)=0，所以，limg(x)g(0)处连续，当a0当a=0时，x0，即g(x)在点x=0时，limg(x)g(0)是g(x)的第一类中断点，所以，g(x
6、)在点x=0x0，即x=0处的连续性与a的取值有关，应选(D).【评注】此题属于基此题型，主要考察分段函数在分界点处的连续性.(7)设f(x)=|x(1x)|，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.3-让每一个人同等地提高自我(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.C【剖析】因为f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值状况，考察f(x)在x=0的左、右双侧的二阶导数的
7、符号，判断拐点状况.【详解】设00，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点.明显，x=0是f(x)的不行导点.当x(,0)时，f(x)=x(1x)，f(x)20，当x(0,)时，f(x)=x(1x)，f(x)20，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.应选(C).【评注】对于极值状况，也可考察f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(8) 设有以下命题：(1)(u2n1u2n)un收敛.若n1收敛，则n1(2)unun1000若n1收敛，则n1收敛.un11unlim(3)若nun，则n1发散.(unvn)unvn(4)若n1收敛，则n1，n1都收敛.则以上命题中正确的
8、选项是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).B【剖析】能够经过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.4-让每一个人同等地提高自我【详解】(1)是错误的，如令unu(uu)(1)n，明显，n1n分别，而n12n12n收敛.(2) 是正确的，因为改变、增添或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.limun11un(3)是正确的，因为由nun可获得un不趋势于零(n)，所以n1发散.(4)un1,vn1unvn都发散，而是错误的，如令nn，明显，n1，n1(unvn)n1收敛.应选(B).【评注】此题主要考察级数的性质与收敛性的鉴别法，属于基此题型.(9
9、) 设f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则以下结论中错误的选项是(A)起码存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(a).(B)起码存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(b).(C) 起码存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)起码存在一点x0(a,b)，使得f(x0)=0.D【剖析】利用介值定理与极限的保号性可获得三个正确的选项，由清除法可选犯错误选项.【详解】第一，由已知f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则由介值定理，起码存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0；f(a)limf(x)f(a)0xa此外，xa，由极限的保号性，起码存在一点x0(a,b)5-让每一个人同等地提高自我f(x0)f(a)0同理，起码存在一点x0(a,b)使得x0a，即f(x0)f(a).使得f(x0)f(b).所以，(A)(B)(C)都正确，应选(D).【评注】此题综合考察了介值定理与极限的保号性，有必定的难度.（10）设函数yf(x)拥
