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1、高一数学知识点总结集合 一.知识归纳: 1.集合的有关概念。 1)集合（集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集）其中每一个对象叫元素注意:集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(A和aA,二者必居其一)、互异性(若aA,bA，则ab)和无序性(a,b与b,表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 )集合的分类:有限集,无限集,空集。 )常用数集:N,Z,Q,R，N* .子集、交集、并集、补集
2、、空集、全集等概念。 1）子集：若对xA都有xB,则 B(或AB);2)真子集：AB且存在x0B但x0 ;记为A B(或 ，且 )3)交集:ABx|xA且xB )并集：AB=| A或B ）补集:UA| A但x注意： A，若A,则 ； 若 ， ,则; 若且 ，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号:(1) 与 、的区别;(2) 与 的区别;(3） 与的区别。 .有关子集的几个等价关系 =A A；AB=B ； B C uA uB; ACuB = 空集 CuB;CuAB= A B。.交、并集运算的性质 AAA, =，=B；AA=A，A =A
3、,ABBA; Cu (B)CuB,Cu(B)=uACB； .有限子集的个数：设集合A的元素个数是n,则有2n个子集，2-1个非空子集，2-个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合M=|x= ,m,N=x|= ,nZ，P=x|x ,pZ，则M，N,满足关系 A) M=P) M N=P C) N P ) NP M 分析一:从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合M：|= ,m;对于集合：x|x ， 对于集合:x|x= ，pZ,由于(-）+1和p1都表示被3除余1的数,而+1表示被6除余1的数,所以M NP,故选。 分析二:简单列举集合中的元素。 解答二：=, ,N=, , , ，,P=
4、， , ，这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。 = ， ， N，又= M， N, = P，N P 又 N，PN，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题,因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ,则(B ) .MN MN.N D. 解： 当 时,k+1是奇数,k+2是整数,选 【例】定义集合A*=x|且 B，若A=1,5,7,B=2，3，则A*的子集个数为 A）1 B)2 C) D)4 分析:确定集合*B子集的个数，首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A=a，a2，,a有子集个来求解。 解答：*=x|xA且x
5、 B， A*=1，有两个元素，故A*的子集共有22个。选D。 变式:已知非空集合 1,2,3,4,且若aM,则6aM，那么集合M的个数为)5个 )6个 C)7个 D）8个 变式2:已知a，A ,d,，求集合A 解：由已知，集合中必须含有元素a，b 集合A可能是a,b，a,b，c,a,b,d,a,b，e,a，,c,，a,b,e,a，b,d，e.评析本题集合A的个数实为集合，d，的真子集的个数，所以共有 个 . 【例3】已知集合A=|x2+px+q0,=x|x2+r=,且A,AB=2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答:AB1 1B 1241+r=0,=3.B=|4x+r=01,3， A=，,3
6、, , 2 AB=1 1A 方程x2+px+=0的两根为2和1, 变式：已知集合A=x|x2+bxc=0,B=x|x2+mx6=0,且AB2,BB，求实数b,c,m的值. 解：AB=2 B2+m2+6,m=5 =|x-5x+=,3 =B 又 AB=2A2 b-(2+2)=4,c22= b=-，c=，m=5 【例4】已知集合A=x|(-1)(x1）(x+2)0,集合B满足:AB=x|x-2,且AB=x 分析：先化简集合，然后由A和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于。解答:=x|21。由B=x|2可知-1, ,而（-，-)B。综合以上各式有x15 变式1：若A=x|x3+2x2-8x
7、0，=|x2+a+0,已知AB|x4，=,求,b。(答案:=-,b=） 点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。变式2：设M=xx2-2x-3=0,N=x|ax1=,若M=N,求所有满足条件的a的集合。 解答：M=1,3 , MN=, N M 当时,ax1=0无解，a=0 综得:所求集合为-1，0, 【例5】已知集合 ,函数y=log2(x2-2x+2)的定义域为,若Q,求实数a的取值范围。 分析:先将原问题转化为不等式x-2x20在 有解,再利用参数分离求解。 解答：(1）若 , 在 内有有解 令 当时，所以a-4,所以a的取值范围是变式:若关于的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答: 点评:解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
