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1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。
2、例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCD中，求证变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 o证明：ABPC类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证：变式2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90?.E为BB
3、1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面 利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)ABCDEF 例1 如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明
4、； （2）证明平面；变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=2（1）求证：平面AEF平面AACC；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： bM bM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示
5、，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )第3题图平面PEF 平面PEF 平面DEF 平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m 且lm D.且是圆的直径，C是圆周上一点，P
6、C垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( ) B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( ) .1 C 是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，则下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出下列命题 若m，则ml；若ml，则m；若m，则ml；若ml，则m，其中真命题的序号是 (
7、 )A. B. C. D.10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活第12题图11.如图所示，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，则ABC的面积是 . 第11题图第13题图12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥VAB
8、C中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VCAB;(2)若二面角EABC的大小为30,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45，求证：MN平面PCD.16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD
9、平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M 18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.第4课 线面垂直习题解答 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 由线面垂直的性质定理可知. 折后DPPE,DP
10、PF，PEPF. 过a上任一点作直线bb,则a，b确定的平面与直线b平行.依题意,m且m,则必有,又因为l=则有l,而m则lm,故选A.过P作PDAB于D，连CD，则CDAB，AB=，PD=. 由定理及性质知三个命题均正确. 显然与不平行. 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. ，l，lm 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，
11、菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.VA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与
12、底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为60.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB4，AD，BAD60，第16题图解
13、故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，连PF，则PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1
