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1、函数的图象与性质(数学竞赛讲稿)第三讲 函数的图象与性质知识要点:1. 函数的图象:坐标为的点的集合称为函数的图象,其中是函数的定义域。2. 图象变换:平移变换、对称变换3. 函数性质:奇偶性、单调性、周期性周期性:对于函数,如果存在一个不为零的正数,使得当取定义域中的每一个数时,总成立,那么称函数为周期函数,正数称为这个周期函数的周期,如果所有周期中存在最小值,称为该函数的最小正周期。能力训练1 作出下列函数的图象:(1)解:(1)先作出的图象,然后将此图象在轴下方的部分对称地翻折到轴的上方即可。(2)因是偶函数,其图象关于轴对称,于是我们先作出在0时的图象,然后作出它关于轴对称图形即可。2
2、 为何实数时,方程有四个互不相等的实数根。解:将原方程变形为,设,作出其图象,而是一条平行于轴的直线,原方程有四个互不相等的实根,即直线与曲线有四个不同的交点,由图象可知,即3 已知(a、b;实数)且,则的值是 ( )(1993年全国高中数学联赛试题)(A) (B) (C) 3 (D) 随a、b取不同值而取不同值解:是奇函数的和,为奇函数,从而即,选(C)。4 设函数对任一实数满足:且。求证:的根在区间上至少有13个,且是以10为周期的周期函数。证明:由题设知,函数图象关于直线和对称,所以,于是在上至少有两个根。 另一方面,有,所以是以10为周期的周期函数,因此的根在区间上至少有个要。评述:设函数的定义域为,若对任意的,都有(为常数),则函数图象关于直线对称。5 函数定义在整个实数轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。(1) 证明:方程恰有一个解,(2) 试举一个具有上述性质的函数的例子。解:(1)设,则(0,)是函数的图象上的点,把该点按同一方向绕原点旋转两次,每次旋转角为,得到的点(0,),仍在的图象上,所以,=于是=0,即0。也就是说=0是方程的一个解。 另一方面,设=是方程=的一个解,即=,因此点 (,)在函数的图象上,它绕原点旋转三个后得到(,),且此点也在的图象上,所以=,=0.从上面的讨论可知,方程恰有一个解=0。(2) 构造函数如下: 第1页