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1、实验元函数微分学实验4导数的应用(基础实验)实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Mathematica作平面图形的方法和技巧.掌握用Mathematica求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.基本命令1. 求多项式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots命令Nsolve的基本格式为Nsolvefx= =0,x执行后得到多项式方程f(x)0的所有根(包括复根)的近似值.命令NRoots的基本格式为NRootsfx= =0,x,n它同样给出方程所有根的近似值.但是二者表示方法不同.在
2、命令NRoots的后面所添加的选项n,要求在求根过程中保持n位有效数字；没有这个选项时，默认的有效数字是16位.2. 求一般方程的近似根的命令FindRoot命令的基本格式为FindRootfx= =0,x,a,选项或者FindRootfx= =0,x,a,b,选项其中大括号中x是方程中的未知数，而a和b是求近似根时所需要的初值.执行后得到方程在初 值a附近，或者在初值a与b之间的一个根.方程的右端不必是 0,形如f(x) =g(x)的方程也可以求根.此外，这个命令也可以求方程组 的近似根.此时需要用大括号将多个方程括起来 ，同时也要给岀各个未知数的初值.例如，FindRootfx,y= =0
3、,gx,y= =0,x,a,y,b由于这个命令需要初值，应先作函数的图形，确定方程有几个根，以及根的大致位置，或所 在区间，以分别输入初值求根.命令的主要选项有：(1) 最大迭代次数：Maxlterations-n,默认值是15.(2) 计算中保持的有效数字位数：WorkingPrecision-n,默认值是16位.3. 求函数极小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式为FindMinimumfx,x,a, 选项执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值.这个命令的选项与 FindRoot相同，只是迭代次数的默认值是 30.如果求函数f (x)的极大值的近似值，可以对函数-f
4、 (x)用这个命令.不过，正确的极大值是 所得到的极小值的相反的数.使用此命令前，也要先作函数的图形，以确定极值的个数与初值.4. 作平面图元的命令 Graphics如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元，可以直接用命令 Graphics,再用命令Show在屏幕上显示.例如，输入g1= GraphicsLine1,-1,6,8Showg1,Axes-True执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段.实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项.如果要作出过已知点的折线，只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line之内即可.如输入ShowGraphicsLine0,0
5、,1,2,3,-1,Axes-True输出为图4.1.实验举例求函数的单调区间例4.1 （指导书 例4.1）求函数y =x3 _2x 1的单调区间 输入f1x_:=xA3-2x+1;Plotf1x,f1 x,x,-4,4,PlotStyle- GrayLeve10.01,Dashing0.01 则输出图4.2.图4.2图4.2中的虚线是导函数的图形.观察函数的增减与导函数的正负之间的关系 再输入Solvef1 x=0,x则输出即得到导函数的零点_.,2/3 .用这两个零点，把导函数的定义域分为三个区间 .因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同符号.因此，只需在每个小区间上取一点计算
6、导数值,即可判定导数在该区间的正负，从而得到函数的增减.输入f1 -1f1 0f1 1输出为1，-2,1.说明导函数在区间_：:,_.、2/3 ,2/3,、2/3 ,2/3, :上分别取+，-和+.因此函数在区间 匚二2/3和2/3,上单调增加，在区间一$2/3,.、2/3上单调减少.求函数的极值x 例4.2 (指导书 例4.2)求函数y 的极值.1 +x2输入f2x_:=x/(1+xA2);Plotf2x,x,-10,10则输出图4.3.观察它的两个极值.再输入Solvef2 x=0,x则输出x-1,x-1即驻点为X二1.用二阶导数判定极值，输入f2 -1f2 1则输出1/2与-1/2.因此
7、x二-1是极小值点，x=1是极大值点.为了求出极值，再输入 f2-1f21输出-1/2与1/2.即极小值为-1/2,极大值为1/2.求函数的凹凸区间和拐点例4.3求函数y-的凹凸区间和拐点1 +2x2输入f3x_:=1/(1+2xA2);Plotf3x,f3 x,x,-3,3,PlotRange-5,2,PlotStyle-GrayLeve10.01,Dashing0.01输岀图4.4,其中虚线是函数的二阶导数.观察二阶导数的正负与函数的凹凸之间的关系再输入则输出9gen=Solvef3 x=0,x即得到二阶导数等于 0的点是_芬.用例1中类似的方法知在.6导数大于零，曲线弧向上凹.在I 一丄
8、丄 h二阶导数小于零再输入f3 x/.gen则输出3/4,3/4这说明函数在1.6的值都是3/4.因此两个拐点分别是例4.4已知函数f(x) Jx6 2x5 -x4 60x3 -150x2 180X25,2 2在区间-6,6上画出函数f(x), f (x), f (x)的图形，并找出所有的驻点和拐点 输入命令fx_=xA6/2-2*xA5-25*xA4/2+60*xA3-150*xA2-180*x-25;Plotfx,f x,f ” x,x,-6,6,PlotStyle-GrayLevel0,Dashing0.01,RGBColor1,0,0;NSolvef x=0, xNSolvef x=0
9、,x;则输出图4.5图4.5求极值的近似值例4.5 (教材 例4.3)求函数y =2sin2(2x)5 xcos2 的位于区间(0,二)内的极值的近似2I2丿值.输入f4x_:=2 (Sin2 x)A2+5x*(Cosx/2)A2/2;Plotf4x,x,0,Pi则输出图4.6.图4.6观察函数图形，发现大约在x =1.5附近有极小值，在x =0.6和有X =2.5极大值.用命令FindMinimum直接求极值的近似值.输入FindMinimumf4x,x,1.5则输出1.94461,x-1.62391即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391.再输入FindMinimum-f4x
10、,x,0.6FindMinimum-f4x,x,2.5则输出-3.73233,x-0.864194-2.95708,x-2.24489即得到函数_y的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结 果是完全相同的.泰勒公式与函数逼近2n例4.6利用泰勒公式e1 x - - Rn(x)近似计算ex.若|x|：1，要求截断误差2!n!| Rn | -3,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,1,0,RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,1,Background-RGBColor0.753,0.753,0.753; 则输出图4.7
11、.321-1-2-32.557.51012.513 / 14(2) 扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点x0时泰勒多项式对函数的逼近情况输入命令t=TableNormalSeriesSinx,x,0,i,i,1,19,2; PrependTot,Sint;PlotEvaluatet,x,-Pi,Pi; PlotEvaluatet,x,-Pi,Pi,AspectRatio-Automatic; PlotEvaluatet,x,-2Pi,2Pi,AspectRatio-Automatic; PlotEvaluatet,x,-3Pi,2Pi,AspectRatio-Automatic;则分别输出相应图形.通过观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况，可以看到在勺,二范围内y sin x的9次泰勒多项式与函数图形几乎重合 ，而在-2 = 2二范围内y二sin x的各次泰勒多项式陆续与y=sinx的图象分离，但其15次以及更高的泰勒多项式仍紧靠着y =sin x ,而在二3二范围内，其15次泰勒多项式的图形也与 y=sinx的图象分离.由此可见，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着次数的提高而提高，但对于任一确定次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度.(3) 固定n =10,观察xo的影响.输入命令C
