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1、第1章函数极限与连续1.1 n维空间点集 实数系教学要求：了解维线性空间的概念；掌握邻域、区域、开集的概念；了解实数系的完备性。1.1.1维空间设A、B是任意两个集合，则由，组成一个序偶，记为，称为第一个元素，称为第二个元素。= 。称集合为，的Descartes(笛卡尔)乘积. 注意，一般情况下，当时，记为.当，为实数集合时，就表示一个平面点集。当时，表示整个平面，记为。若设也为非空集合，则定义三个集合的Descartes乘积类似地，可以定义有限个非空集合的Descartes乘积：当时，记为，时表示集合。时，是由所有元有序数组构成的集合，也称为中的一个点，称为的第个坐标。在中定义线性运算如下：
2、设，为中任意两点，规定，定义了线性运算的集合称为维线性空间。规定中点和间的距离时，上述规定与数轴上、直角坐标系中两点间的距离一致。1.1.2点集邻域设是中一点，是某一正数，与距离小于的点的全体，称为点的邻域，记作，即。其中称为邻域的中心，称为邻域的半径。集合称为点的去心邻域，记作，即。 不需要强调邻域的半径，则用表示点的邻域；表示点的去心邻域。2 区域 设是平面点集，是平面的一个点。如果使，则称为的内点。显然的内点属于。如果都是内点，则称为开集。例如，中每个点都是它的内点，因此为开集。如果在点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点。的边界点的全体称为的边界。如圆周是的边界.
3、设是开集，如果内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线完全落在中，则称开集是连通的。如果点集连通，则称是区域。例如上面的，上半平面等都是区域。区域连同它的边界一起，称为闭区域。，都是闭区域。如果区域内任意闭曲线所围的部分都属于，则称为单连通区域，否则称为复连通区域。例如，和都是单连通区域，和是复连通区域。 对于点集，设是一定点，如果存在,，都有，则称为有界点集，否则称为无界点集。例如上面的，和都是有界区域，是无界区域。1.1.3 实数系1 实数系的完备性若一个集合中的任意两个元素进行某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，称这个集合对该运算是封闭的。自然数集合对加法和乘法是封闭的，有理数集合对加
4、法、减法、乘法和除法运算都是封闭的。有理数系具有“稠密性。”正方形的对角线不能用已有的数表示，数学史上出现第一次数学危机。第一次数学危机后承认了除了有理数外还有其他的数存在，这样的数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。19世纪Dedekind证明了全体实数连续地充满整个数轴，这个特性称为实数系的完备性。2 上界与下界设是一个非空数集，若存在数，都有，称为数集的上界；若存在数，都有，称为数集的下界；若存在，都有或（），称数集有界，否则称为无界。 上界和下界都不是唯一的。若一个数集有上界，则任何大于的数都是的上界，因此上界没有最大值但可能有最小值。如令，大于或等于的数都是其上界，但任何小于的数都
5、不是它的上界，故是最小上界。对于下界也有的类似的结论。定义1.1如果是数集的最小上界，称是数集的上确界(supremum)，记为，即，都有，但，使。如果是数集的最大下界，称是数集的下确界(infimum)，记为，即，都有，但，使。数集的上确界、下确界统称为确界。例如，数集，都是它的上界，而只有是它的上确界；都是它的下界，而只有是它的下确界。确界公理：有上界(或下界)的实数集合一定有上确界(或下确界).1.2 函数教学要求：理解函数及反函数的概念，能熟练列出简单问题中的函数关系；知道分段函数；了解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；掌握函数的几种特
6、性（单调性、周期性、有界性、奇偶性）。1.2.1映射定义 设、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，则称法则为从到的映射，记作，其中称为在映射下的象，记为，而称为在映射下的一个原象.集合称为映射的定义域(domain)，记为，即；中所有元素的象组成的集合称为映射的值域(range)，记为，即。显然。设、是两个非空集合，有映射。(1) ,如果,有，则称映射为到的单射。(2) 若，则称映射为到的满射。(3) 若映射既是单射有时满射，则称是从到的一一映射，又称与是一一对应的。设、和是非空集合，有两个映射：和如果，则可以定义一个新的映射称这个映
7、射为和的复合映射。1.2.2函数定义1.3设是的非空子集，则从到的映射称为定义在上的函数，记为，其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，记为。集合称为函数的值域。平面点集称为函数的图形或图像。1.2.3初等函数1 基本初等函数(1) 常数函数(2) 幂函数（）(3) 指数函数（，且）(4) 对数函数（，且）(5) 三角函数，,(6) 反三角函数, ,2 函数的运算(1) 四则运算(2) 复合运算设、和是非空集合，由映射和（）所定义的复合映射称为定义在集合上的复合函数，记为或。3 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到用一个式子初等函数。例如，等都是初等函数。双曲函数：双曲
8、正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切。双曲函数的反函数称为反双曲函数，分别为反双曲正弦，反双曲余弦，反双曲正切（。容易验证，双曲函数具有类似于三角函数的基本公式，。4 几个常见的分段函数(1) 绝对值函数(2) 符号函数(3) 取整函数表示不大于的最大整数。如，。 (4) Dirichlet（狄里克雷）函数这个函数的图形显然无法描绘，但它的奇特性可以用于说明许多微积分概念的问题。5 函数的基本特性(1)有界性设的定义域为，如果，都有，则称函数在上有界。否则称为无界。即如果，都使，则称函数在上无界。(2) 奇偶性设的定义域为对称区间，如果，则称为偶函数；如果，则称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于原点对称。(3) 单调性(4) 周期性注意，并不是所有的周期函数都有最小正周期。例如Dirichlet函数，每一个有理数都是它的周期，但没有最小正周期。小结：本节讲述了函数的定义, 初等函数，函数的基本特性，几类特殊的函数。1
