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1、安大略湖和伊利湖的污染问题摘要本文利用数学建模的方法，分析了安大略湖和伊利湖的湖水污染问题，运用了差 分方程、等级结构理论和马氏链模型定量分析了两个湖泊系统的污染物流入流出的过 程。首先，通过对安大略湖的相关因素分析，适当的做出了相关假设，安大略湖的换 水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，引入了差分方程的方式，构建了一个 湖泊污染物总量随时间变化的模型，最终得到了，安大略湖的污染总额是随着时间的 推移衰减的，并在相对长的时间上是维持在一个相对稳定的水平。接着，在考量安大略湖污染物衰减的过程中，通过对湖水的流入与流出的分开分 析，引入换水系数和水质因子相关概念，分析得到了安大略湖湖水污染物
2、下降到10% 以下大概需要 34年的时间。其次，在描述安大略湖与伊利湖的长期情况时，利用马氏链模型与等级结构的相 关理论，考虑到了相关政策对湖水水质的要求，查阅了相关的资料，假设了相关的污 染物含量标准，并得到了需达到这个状态的两个湖泊系统的长期行为。最后，基于对问题的分析与认识，提出了对模型的进一步改进的方面，讨论了模 型的有点与不足。以期能全面分析问题的本质，同时也针相关的问题给出了一些建议。1. 问题复述Background Information:Most of the water flowing into Lake Ontario is from Lake Erie. Suppose
3、 that pollutionof the lakes ceased, except for pollution from an aluminum factory on Lake Ontario. How long would it take for the pollution level in each lake to be reduced to 10 percent of its present level?First, to simplify matters, lets assume that 100 percent of the water in Lake Ontario comes
4、from Lake Erie. Let a(n) and b(n) be the total amount of pollution in Lake Erie and Lake Ontario, respectively, after n years. Since pollution has stopped, the concentration of pollution in the water coming into Lake Erie is c = 0. It has also been determined that, each year, the percentage of water
5、 replaced in Lakes Erie and Ontario is approximately 38 and 13 percent, respectively. Additionally, suppose that an aluminum factory on Lake Ontario directly dumps 25 units of pollutant into the lake each year. Initially, there are 2500 units of pollutant in Lake Ontario, and 3150 units of pollution
6、 in the lake after 1 year.Problem:1. Build a model to estimate the total amount of current pollution in Lake Ontario.2. Find the particular solution and determine how long it would take for the pollution level in Lake Ontario to be reduced to 10 percent of its present level.3. Describe the long term
7、 behavior of this system.2. 问题分析染物变化的分析，在化学与热动力学上，湖泊污染物的分布是一个相当复杂的 问题。于数学建模的定性与定量分析的需要，湖泊中污染物的分布是均匀这个假设 很重要，这是后面问题分析的出发点。问题一要求根据已有的背景资料，求出安大略湖的污染物总量。很明显，湖 是一个动态变化的湖泊系统，污染物又从伊利湖中流入，也有自身的流出，所以， 该湖泊的污染量总额应该是一个变化的数值，且随着时间的推移发生变化。问题二要求求出安大略湖污染物下降到10%以下所需的时间，根据对问题的 分析可以知道污染物是程一个衰减的态势。安大略湖的污染物既有流出也有流入， 在假设
8、湖水总量不变的情况下，可以将流入与流出看成两个过程，分开描述污染物 的变化状况。问题三要求描述安大略湖与伊利湖的长期行为，由于安大略湖与伊利湖的污 染物既有流入又有流出，且总体上程衰减的态势。安大略湖与伊利湖两个系统可以 看成是一个二维的等级结构，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，通过查找相 关资料，定义一个可变的污染物含量标准，构造一个稳定控制状态，可以描述这两 个湖泊系统在一定的污染物要求下的长期行为。3. 模型准备3.1安大略湖与伊利湖的相关地理资料安大略湖是北美洲五大湖之一。在美国和加拿大之间。略呈东西延伸，东西长 约 311千米，南北最宽 85千米。面积 1.95万平方千米，在五大
9、湖中最小。湖面海 拔 75 米，比伊利湖低 99 米。平均水深 85 米，最大深度 236 米。蓄水量 1688 立 方千米。湖岸线长 1380千米，岸线较平直，仅东北端较曲折。伊利湖是北美洲五大湖之一。为美国和加拿大共有，东、西、南面为美国，北面 为加拿大。呈西西南-东东北向。东西长388千米，最宽92千米。面积2.57万平方千米， 在五大湖中居第四位，仅大于安大略湖。湖面海拔174米，比安大略湖高99米。平均水深 18米，最大深度64米，在五大湖中最浅。蓄水量455立方千米。湖岸线总长1200千米， 较平直，少湖湾。湖中有岛屿，集中在湖的西端，以加拿大的皮利岛为最大。3.2马氏链模型马氏链
10、描述的是系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态 按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移的概率， 与以前各时期的状态无关。马氏链及其基本方程 按照系统的发展，时间离散化为n=0,1,2,对每个n,系统 的状态用随机变量X表示，设X可以取k个离散值X =1, 2，3,，k,且记nnna (n)二p(X二i)，即状态概率。从X二i到X 二j的概率记为：innn+1p = P( X =j|X = i)，称为转移概率。由状态转移的无后效性和全概率公式 ijn+1n可以得到基本方程为：ka (n +1) = E a (n)p ,i = 1,2,.,ki
11、 j jij=1并且a (n)和p应满足以下iji丈 a (n) = 1ii=1n=0,l,2,i=l,2,，k引入状态概率向量和转移概率矩阵a(n) = (a (n), a (n)，a (n), P = p 12kij3.2等级结构理论等级结构理论描述的是等级结构的演变过程，预测未来的结构, 到某个理想结构应采取的策略。确定为达成员按等级的分布向量n(t) = (n (t), n (tn (t),),其中 n (t)为t年属于等级12kkN(t)二疋n (t)为系统t年的总量ki的数量成员按等级比例分布a(t) = (a (t),a(t), a (t)i其中a (t) =i2n (t)N(t
12、)转移矩阵退出比例向量w = (w , w ，w )12k调入比例向量r = (r, r r )1 1 k等级结构的基本方程N (t +1) = N (t) + R (t) - W (t)n n(t +1) = n(t) p + M (t) r当系统每年以固定的比例增长时，上式转化为a (t +1) (1+a )t a (t) P + a r 若假定系统的总量保持不变上式可化为：a(t +1) a(t)P=a(t() Q+wT r)4. 模型符号与假设4.1模型的符号说明a(n)n年后伊利湖的污染情况b(n)n年后安大略湖的污染情况V安大略湖的湖水体积1-0湖水的换水系数T湖水更换的周期K综合
13、降解系数4.2模型的基本假设(1) 全部安大略湖的湖水来自于伊利湖(2) 流入伊利湖的湖水未受过任何污染(3) 两个湖泊的湖水总量保持不变，且更新速度是一致的(4) 污染物的浓度很小，可以忽略湖水的密度影响(5) 污染物可以瞬间在湖泊中均匀分布5. 模型的建立与求解5.1安大略湖污染总额模型(问题一)假定安大略湖百分之百的水发源于伊利湖。a(n)和b(n)分别代表n年之后 伊利湖和安大略湖的污染物比例。因为污染已经停止，所以进入伊利湖的污染 含量是c = 0。每一年,伊利湖和安大略湖的换水的比例大约分别是38%和13%。此外,处于 问题的简单化，假设每年安大略湖旁只有一个铝厂直接将二十五个单位
14、的污染 物排入湖中。开始时,安大略湖含有2500单位污染物，一年后达到3510单位。首先将安大略湖的污染总量定义为一个可以数值计量的标量，污染物在安大 略湖的分布是均匀的，新排入的污染物也能迅速地在湖中均匀的扩散开。所以用差分方程构造一个安大略湖污染总额的模型为：a = (1 一 0.38) - aJ (n)(n-1)b = (1 - 0.13) - b+ (1 - 0.38) - a + 25( n )( n 一1)( n 一1)在这个模型中，出于对问题的简单化处理，将安大略湖的换水和污染物进入过程看 成一个时间离散的过程，即每一年安大略湖一次性完成换水，并且湖水的体积保持 不变，通过这样a
15、与b的推到关系为：( n)(n )a = (1-0.38) x aJ (n)(n)b = (2 - 0.38 - 0.13) x b- (1- 0.13)(1- 0.38) x b+ 0.38 x 25( n )( n -1)( n -2)所以， b 的通解为：(n)b = 0.87nb + 0.87n-1 h + 0.87 n-2 h +. + 0.87h + hJ ( n )(0)12n-1nh = 0.62n-1 (b -0.87b ) + (0.62n-2 +. + 1)x0.95 n(1)(0)又由于初始条件b = 2500、b = 3150(0) (1)所以可以得出安大略湖污染总额的年份变化为b = 0.87 nb + 0.87 n-i h + 0.87 n - 2 h +. + 0.87 h + h(n
