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1、解直角三角形 浦东新区彭镇中学 王国新 电话：18019417586有关解直角三角形的问题，它是初中数学中的重要内容，也是中考的主要内容，在日常生活中处处可见，因此，解直角三角形的问题是经常遇到的实际应用问题，另外，还有很多非直角三角形的问题也可以通过作高线等方法，把非直角三角形 (斜三角形) 的问题转化为解直角三角形的问题，因此，熟练掌握解直角三角形具有其十分重要的意义。一 知识要点解直角三角形：在直角三角形中，通过已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。性质：在中，三边的关系三角的关系边角的关系三角函数关系勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。二例题精选例一在R
2、t中，,解这个三角形。分析：由已知，得,可得，又和，列出关于a,b,c的三元方程组，求出三边a,b,c的值。解： ， 又 解方程组 解得 ，。说明：本题是利用特殊角的三角函数值，求得，关键是利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半。”得。例二已知：在中，,求的长。分析：由于已知条件没有说明是直角三角形，不能直接用解直角三角形的方法来解。做于,由,则;在直角三角形中，利用勾股定理求得,所以 解：做于，在中 在直角三角形中, 说明：本题容易把直接当成直角三角形来解，因此，在解题前要认真审题。在没有直角三角形时，可做辅助线构造直角三角形。例三在四边形中，,求.分析：延长AD,BC交于点E,由得
3、.所以又由得又,所以，,，,因为，则, ,解：延长AD,BC交于点E，又, ， 在中， , 说明：含有直角的一般四边形问题，可延长不平行的一组对边交于一点，构造直角三角形来解。例四：在中，求分析：要求，关键是求出两条直角边，由，联想到做。即在线段上取点，使,则。在中，设，则，所以，在中,利用勾股定理求得x的值即可。解：在线段上取点，使在中, 设则， 在中 求得 , 。 说明：利用的倍，构造含有的特殊的直角三角形，求出两条直角边。例五在中，,求的值。分析：要求的值，在中不能直接求出，需将放在一个直角三角形中，由于，则它的外角是，可作边上的高，构造直角三角形。解：过点作交的延长线于点D.在中, 在
4、中 .说明：求非直角三角形中有关角的问题，可将有关角放在构造的直角三角形中，运用相关的几何性质求解。本题中是利用角的补角角这一条件构造出含角的特殊直角三角形。例六为了测量河的宽度，在河的一岸选定两点,由看对岸的一棵树,测得 ，,若，求：河的宽度。分析：过点作交于点,由、，得.。在中，可求出河的宽度. 解：过点作交于点 、 、 在中 答：河的宽度为米。说明：求非直角三角形中有关边（或高）的问题，可以构造的直角三角形求解。总之，在解直角三角形时，必须具备已知除直角外的一边、一角或两边的条件时，才能解这个直角三角形。否则，就应根据题意利用间接条件（构造直角三角形）去解。利用未知量列方程建立等量关系式是常用的解题方法。
