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1、高等流体力学一、 流体的运动用x=a,y=etb+c2+e-tb-c2,z=etb+c2-e-tb-c2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。解：由题可知速度分量为：u=xt=0v=yt=etb+c2-e-tb-c2=zw=zt=etb+c2+e-tb-c2=y则速度的拉格朗日描述：V=0,etb+c2-e-tb-c2,etb+c2+e-tb-c2速度的欧拉描述：V=0,z,y二、 速度场由V=x2t,yt2,xz给出，当t=1时求质点p1,3,2的速度及加速度。解：由V=x2t,yt2,xz可得速度分量式为：u=x2tv=yt2w=xz则当t=1时，质点p1,3,2的速度为：V=1,3,2；
2、加速度为ax=ut+uux+vuy+wuzay=vt+uvx+vvy+wvzaz=wt+uwx+vwy+wwz=ax=x2+x2t2xt+yt20+xz0ay=2yt+x2t0+yt2t2+xz0az=0+x2tz+yt20+xzx=ax=1+2+0+0=3ay=6+0+3+0=8az=0+2+0+2=4，即加速度为：a=3,9,4三、 速度场由V=x+t2,y-t2,0给出，求速度及加速度的拉格朗日表示。解：由题可得速度场V=u,v,w=x+t2,y-t2,0，则由u=xt=x+t2v=yt=y-t2w=zt=0得dxdt-x=t2dydt-y=-t2dzdt=0，解微分方程得x=c1et-
3、1t2-22t-23y=c2et+1t2+22t+23z=c3，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中c1,c2,c3为任意常数。则u=xt=c1et-2t-22v=yt=c2et-2t-22w=c3，ax=2xx2=c12et-2ay=2yy2=c22et-2az=0得速度的拉格朗日表达式为：V=c1et-2t-22,c2et-2t-22,c3得加速度的拉格朗日表达式为：V=c12et-2,c22et-2,0四、 已知质点的位置表示如下：x=a,y=b+ae-2t-1,z=c+ae-3t-1求：（1）速度的欧拉表示；（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求x,y,z=1,0,0及a,b
4、,c=1,0,0的值；（3）过点1,0,0的流线及t=0在a,b,c=1,1,1这一质点的迹线；（4）散度、旋度及涡线；（5）应变率张量及旋转张量。解：(1) 由x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1得a=xb=y-xe-2t-1c=z-xe-3t-1由题得u=xt=0v=yt=-2ae-2t=-2xe-2tw=zt=-3ae-3t=-3xe-3t，则速度的欧拉表示为V=0，-2xe-2t,-3xe-3t(2) 加速度分量为ax=ut+uux+vuy+wuz=0ay=vt+uvx+vvy+wvz=4xe-2t=4ae-2taz=wt+uwx+vwy+wwz=9xe-3t=9ae-3
5、t，则加速度的欧拉表示为a=0,4xe-2t,9xe-3t;则加速度的拉格朗日表示为a=0,4ae-2t,9ae-3t；当x,y,z=1,0,0及a,b,c=1,0,0时，a=0,4e-2t,9e-3t(3) 流线微分方程式为dxu=dyv=dzw，因为u=0所以，流线微分方程转化为dy-2xe-2t=dz-3xe-3t，消去中间变量积分得y=23etz+c1，又因为x=a，当x=1,y=z=0时，得到c1=0，a=1，即过点(1,0,0)的流线为x=1y=23etz由迹线微分方程为x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1，将t=0，a,b,c=1,1,1代入得质点轨迹方程为x=1y
6、=e-2tz=e-3t(4) 散度div V=ux+vy+wz=0+0+0=0旋度rot V=wy-vzi+uz-wxj+vx-uyk=0i+3e-3tj+-2e-2tk涡线微分方程为dxwx=dywy=dzwz，又因为wx=0，涡线微分方程转化为dy3e-3t=dz-2e-2t,x=const，即涡线方程为y=-32e-tz+c2x=c3(5) 速度梯度V=uvw=uxuyuzvxvyvzwxwywz=000-2e-2t003e-3t00，应变率张量S=ux12uy+vx12uz+wx12vx+uyvy12vz+wy12wx+uz12wy+vzwz=0-e-2t-32e-3t-e-2t00-
7、32e-3t00旋转张量A=012uy-vx12uz-wx12vx-uy012vz-wy12wx-uz12wy-vz0五、 已知拉格朗日描述为x=ae-2tky=betkz=cetk（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场；（2）求t=1时在点（1,1,1）的加速度；（3）求过点（1,1,1）的流线。解：六、 已知u=x+1,v=x,w=0，求（1）速度的拉格朗日描述；（2）质点加速度；（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；（4）迹线及流线。解：(1) 由u=xt=x+1得x=c1et-1，又由v=yt=x=c1et-1得y=c1et-t+c2，由w=zt=0得z=c
8、3。再由初始条件t=0,x,y,z=a,b,c得c1=a+1,c2=b-a-1,c3=c，则速度的拉格朗日描述为u=a+1etv=a+1et-1w=0(2) 质点加速度为ax=ut=etay=vt=etaz=wt=0(3) 散度div V=ux+vy+wz=1+0+0=1旋度rot V=wy-vzi+uz-wxj+vx-uyk=1k因为旋度不为0，故为有旋运动因为散度不为0，故流体为可压缩流体(4) 由（1）可得迹线方程为x=a+1et-1y=a+1et-t+b-a-z=c流线微分方程dxu=dyv=dzw，又因为w=0，所以流线微分方程转化为dxx+1=dyx，解之得y=x-lnx+1+c4
9、，由初始条件t=0,x,y,z=a,b,c得c4=b-a+lna+1所以流线方程为y=x-lnx+1+b-a+lna+1z=c七、 一水箱尺寸如图所示，箱外大气压patm=1.013105Pa，计算下列两种情况下地窗口AB两侧所受的流体合力。（a）水面上方气体压力pA=patm；（b）pA=1.255105Pa解：（a） 不妨设AB两侧所受的流体合力为Fa则Fa=水hcA=98073+121.5sin301.53=1.489105N（b） pA=1.255105Papatm=1.013105Pa，需重新设立水平面，不妨设新的水平面距离原先水平面为h，由pA=patm+水h得h=2.468m则F
10、b=水h+hcA=98073+2.468+121.5sin301.53=2.579105N八、 如图的微测压计用来测量两容器E和B中的气体压强差。试用,d,1,2表示PE-PB,并说明当横截面积aA，而且两种溶液密度, 1和2相近时，很小的PE-PB就能引起很大的液面高度差d,从而提高测量精度。解：根据流体静力学规律知PE+1gh=PB+1gh-d+2gd，即PE-PB=1g+2-1gd又由图可知，A=ad；所以=aAd又有题可知aA，即=aAd0，PE-PB=2-1gdd=PE-PB2-1g故当两种两种溶液密度相近时，很小的PE-PB就能引起河很大的液面高度差d。九、 图为装在做水平匀加速运
11、动物体上的U型管式加速度测量器，已测得两管耶中得液面差h=4cm,两管相距L=20cm,求该物体加速度的大小和方向。解：选坐标系Oxy,O点置于U型管左侧的自由液面上，Ox轴向右，Oy轴向上。质量力fx=-a,fy=-g，将其代入dp=fxdx+fydy并积分得p=-ax+gy+c由边界条件x=0，y=0,p=0得c=0。另外由x=L，y=h,p=0得a=-ghL综上所得可知该物体加速度的大小为ghL，方向往左。十、 如图一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压器，容器装满水，测压管中的水面比顶盖高h，圆柱形容器直径为D，当它绕其竖直轴以角速度旋转时，顶盖受到多大的液体向上的总压力？解：如图建
12、立Oxyz坐标系，对dp=fxdx+fydy+fzdz=2xdx+2ydy-gdz积分得p=2r22-gz+c，则有边界调节x=0，y=0,z=h,p=0得c=gh，即得压强的公式为p=g2r22g-z+h。故在顶盖处的压强为p=g2r22g+h，则顶盖受到的向上的力为F=pdA=0D2g2r22g+h2rdr=2D464+ghD24十一、 一个充满水的密闭容器，以等角速度绕一水平轴旋转。试证明它的等压面为圆柱面，且该圆柱面的轴线平行于转动轴，并比转动轴高g2。解：以z轴为水平轴，y轴垂直向上建立空间直角坐标系。对dp=fxdx+fydy+fzdz=2xdx+2ydy-gdy，又因为等压面dp
13、=0，令dp=0再对上式积分得2r22-gy=0，又r=0时，y=0得c=0，于是等压面方程为2r22=gy2r22=gy转化为2x2+y22=gy，即为x2+y-g22=g22，该式表明等压面为圆柱面，半径为g2，中心位于0，g2，即等压面的中心轴比容器的转动轴高g2十二、 试求图中窗口所受内外流体作用力合力的大小和位置，窗口外为大气。解：窗口所受合力为F=pcA=690000+98071.5-98073-98071.5-1013002.53=41.95105N十三、 如图所示圆柱型堰，直径2R=3m，长L=6m，试求两侧静止流体对于堰上的合力大小，方向及作用线。解：(1) 堰的左侧水平方向
14、分力的大小：FLx=H12DL=98073236=264789N铅垂方向分力的大小：FLy=8D2L=98078326=207965N(2) 堰的右侧水平方向分力的大小：FRx=H22H2L=980734326=66197.25N铅垂方向分力的大小：FRy=16D2L=98078326=103982.5N故堰上总压力水平分力的大小为Fx=FLx-FRx=198591.75N铅垂分力的大小为Fy=FLy+FRy=311947.5N故总压力为F=Fx2+Fy2=369797.1416N=tan-1FyFx=57.52所以合力的方向与x轴成角。合力的作用线通过x,y点：x=-Rcos57.52=-0.806m，y=R-Rsin57.52=0.235m十四、 与水平面成45的斜壁上有一半径为R的圆孔，孔心的深度为H，现用以半球面堵住孔，如图所示，试求半球面所受液体压强合力F的大小和方向（不计大气压强的作用）解：半球面的水平投影是椭圆：在此处键入公式。十五、 曲面形状为3
