第十一章曲线、曲面积分

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1、第十一章曲线、曲面积分曲线、曲面积分曲线、曲面积分是将积分概念推广到一段曲线弧或一片曲面 的情形，在求变力沿曲线做功，求引力，环流量等许多实际问题 中应用广泛，是场论的基础。这一章的基本思想是用参数化方法 解决曲线、曲面积分的计算，利用格林公式、斯托克斯公式、高 斯公式解决一些较复杂的应用问题。在研究生入学考试中，本章 是高等数学一和高等数学二的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1明确两类曲线积分和两类曲面积分的背景，熟练掌握两 类曲线积分和两类曲面积分的定义。2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的参数化、投影 计算法。 3具备对一些常见实际问题的分析能力，正确使用格 林公式

2、、斯托克斯公式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。一、知识网络图计算方法（参数化法）对弧长的曲线积分质量、质心、引力） 在一些问题中的应用（计算方法（参数化法） 线积分 分） 格林公式（平面曲线积 对坐标的曲线积分 线积分） 斯托克斯公式（空间曲 在一些问题中的应用（ 变力沿曲线做功、环流量） 计算方 法（参数化法） 对面积的曲面积分质量、质心、引力） 在一些问题中的应用（曲面、曲线计算方法（投影法）对坐标的曲线积分 高斯公式 在求穿过曲面定向的通 量两类曲线积分的联系相互关系两类面线积分的联系场论基础知识二、典型错误分析例 1 错误结论 设 AB 是分段光滑可求长的平面曲线段，函数z f（M

3、）是定义在AB上的有界函数，则ABf（x,y）dsBAf（x,y）ds.分析 从第一类曲线积分的定义知，该积分是该弧段上点的 函数值与小弧段长的乘积的和式的极限，故这个极限与曲线段 AB 的方向无关， 因此不能照搬定积分的有关性质。正确结论 设 AB 是分段光滑可求长的平面曲线段，函数 z f(M)是定义在AB上的有界函数，则ABf(x,y)ds f(x,y)ds.BA例 2 错误结论重积分、曲线积分、曲面积分的定义都可 统一到定积分的定义形式。分析 从重积分、曲线积分、曲面积分的物理背景可知重积 分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义可统一到定积分的 定义形式：设是可度量的几何形体，f(M

4、)在上有界，将任意分 成 n 个部分 i,i 1,2, ,n， i 既表示第 i 个部分又表示其度，在 i 上 任取一点Ml，若丨lim f(MI) I存在，则i 10n称f(M)在 上可积，记为f(M)d I.对于第二类曲线积分、第二类曲面积分由其物理背景可知， 其定义不能简单地统一到这种形式。正确结论 重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定 义都可统一到定积分的定义形式。例 3求圆周上 x y r 曲线段 ABC 的弧长，其中 A (0,r), B (r,0),C (r2,3r2)222xr222错解 dsACACxdxr2xr22dx rarcsinxrr20r6r2分析由于曲线从A

5、到C时,x自0增加到r,再由r减少到xr222, 在以上计算中统一将 ds 用 1dsxdx表示不能保证 ds 0.而第一类曲线积分中,由定义可知 应大于零,因此此题应分段进行计算.正确解AC ds AB1 xr222x dx2BC xr222x dx xrxrdxrr21xrxr2x2dx5 r6rarcsinxr0 rarcsinr r2rrdx dyABCDAx y, 其中 ABCDA 为以点 A(1,0),B(0,1),C( 1,0),D(0, 1) 为顶 点的正方形。C3: x y 1，错解 正方形方程为 x y 1, 即 C1:x y 1, C2: x y 1 C4:x y 1.

6、所以dx dyABCDAx ydx dy dx dyC3C1dx dyC2C4dx dy1(1 1)dx1(1 1)dx (1 1)dx (1 1)dx1012 dx 2 dx 4.1分析 本题是计算第二类曲线积分 , 因此用参数化法化为 定积分求解。但应注意的是此时定积分的下(上)限应对应始(终) 点的参数值。在以上解法中被积表达式是正确的，但积分上下限 有的颠倒了，导致了结果错误。正确解 正方形方程为 x y 1, 即 C1:x y 1, C2: x y 1，C3: x y 1，C4:x y 1.所以dx dyABCDAx ydx dy dx dyC3C1dx dydx dy(1 1)dx

7、111(1 1)dy (1 1)dx (1 1)dy1012 dx 2 dy 0.例 5. 错误结论 格林公式对单一型的积分 P(x,y)dx 不成立。L分析以上结论是错误的。事实上，P(x,y)dx P(x,y)dx Q(x,y)dx, 其中LLLQ(x,y) 0,因此只要P(x,y)在以L为边界正向的闭区域D上满 足格林公式的条件即可使用格林公式。正确结论当P(x,y)在以L为边界正向的闭区域D上满足格 林公式条件时：P(x,y)dx P(x,y)dx Q(x,y)dyLLLLP(x,y)dx0dyLLD(P y)dxdy.类似地，对单一型的积分Q(x,y)dx，当Q(x,y)在以L为边界

8、 正向的闭区域D上满足格林公式的条件时，有Q(x,y)dYLDQ y例 6. 求曲线积分Ly33dx3x33dy，其中曲线L的方程x2 y2 9.x3错解 由于 P(x,y) 件，于是y3,Q(x,y)3在L所围的区域上满足格林公式的条Lydxx33dyD(x2y)dxdy29dxdyD81 .分析 在以上解法中，将第二类曲线积分利用格林公式转化 为二重积分来考虑这个思路是常用的，错误在于将 x2 y2 利用 L 的方程x2 y2 9,用9来代换x2y。事实上二重积分中的积分变量应在L所围的积分区域上取 值，而不能仅在 L 上取值。 正确解 利用对称性Ly334dxx33dy(xD2y)dxd

9、y23rrdr例7.求曲线积分xdy,其中曲线L的方程x2 y2 1。L错解 由于积分曲线关于 y 轴对称,被积函数是 x 的奇函 数,利用对称性,得xdyL0.分析 在定积分、重积分中,常利用积分区域的对称性配合 被积函数的奇偶性法则来简化计算。由于第二类曲线积分、第二 类曲面积分的定义与定积分、重积分的定义形式不同（参见例2）, 因此不能直接照搬此性质。 正确解利用参数法,xdyL2cos dsin 4 2cos d .2例8.求曲面积分z2dxdy,其中 为曲面x2 y2 z2 r2的外侧。错解 z2dxdy 22dxdy 0.中的上半球面分析 上面解法的错误在于对第二类曲面积分直接利用

10、重 积分的对称性求解，这是没有根据的。对第二类曲面积分，首先 应将它化为重积分，才能考虑是否可用对称性简化计算。 正确 解一 利用高斯公式z2利用对称性dxdy22(0 0 2z)dxdydz220.x y z r正确解二以上积分也可用常规的方法，分片积分。将 分为上半球面：1:z r2 x2 y2下半球面：1:z r2 x2 y2,于zdxdy21zdxdy22zdxdy22(r212x y)dxdy+222(r2x y)dxdy 0.22x y rx y r例 9. 试问(x 2y)dx ydy(x y)2是否某个函数的全微分？若是，求函数 u(x,y). y(x y)2错解 设 Px,y

11、x 2y(x y)2,Q ,因为P y2y(x2y)23J所以对一切,原式是某个函数u(x,y)的全微分。取A(xO,yO)为起点，以折 线 ABC 为积分路径，其中B(x,0),C(x,y),于是u(x,y)(x,y)(x 2y)dx ydy(x y) P yQ x2(x0,y0)分析以上解法是在根据推得“一切x,y，原式是某个函数 u(x,y)的全微分”的基础上进行的，但是这里忽略了函数P、Q当xy 0 时没有定义，因此，只有在 x y 0 时，P y才成立，因此不能任取一点为起点，所选择的路径必须将直线x y 0中排除在外。正确解设Px 2y(x y)2,Qy(x y)2J因为P yQ

12、x2y(x2y)23J所以在直线x y 0以外的区域内，原式是某个函数u(x,y)的全微分。取A(1,0)为起点，以折线ABC为积分路径，其中B(x,0),C(x,y),于是 u(x,y)(x,y)(x 2y)dx ydy(x y)2(1,0)xx1x1yy(x y)ylnx 1 lnx y 2_ y0ylnx yx y例 10. 把对坐标的曲线积分 Pdx Qdy 化为对弧长的曲线积 分，其路径为沿上L半圆周(x 1)2 y2 1 从点(2,0)到(0,0).错解Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds，由方程(x 1)2 y2 1 得LLdydx1 xyJ因此圆周的切线向量为1,1 x

13、y方向余弦为1 xcos(11 xy)22x x, cos(2y1 xy)21 x,于是Pdx Qdy2x xP (1 x)Qds.2L分析 在以上解法中，所运用的两类曲线积分之间的关系式Pdx QdyL(PcosLQcos )ds是正确的，但没有按“切线向量的方向与有向曲线L 的方向必须保持一致”去求出切线向量，造成结论错误。正确解曲线L的方程为x2 y2 2x,y 0,以x为参数，则曲线 L 的切线向量为1,dydx,由 x2 y2 2x,得dydx1 xy,因此切向量为1,.由于 L 沿上半圆周从点(2,0)到(0,0)，故切线方向余弦取1 xcos(11 xy)22x x, cos(2y1 xy)21 x,于是LPdx Qdy 2x xP (1 x)Qds.L2 三、综合题型分析Lxds，其中L为球面x22y2z2a2与平面x y z 0 相交的圆周。分析一 所求积分为第二类曲线积分，可用常规方法即参数 化法进行如下计算。 解一 先求出曲线 L 的参数方程。由方程 组x2 y