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1、概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间S:E的所有可能结果组成的集合. 样本点（基本事件）:E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件():每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二 事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.AB(和事件）事件与B至少有一个发生.3. AB=A（积事件)事件A与B同时发生. A(差事件）事件
2、A发生而B不发生.5.ABF (与B互不相容或互斥)事件A与不能同时发生6. AB=F且AB=S（A与互为逆事件或对立事件）表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生 B=A, =.运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（),称为事件A的概率.(1）非负性 ()0 ； （2)归一性或规范性 P（S）= ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,(AiAj=, ij,i，j1，)，P（1A2）=P（）+P（A2）+2.性质（1） （F) = 0, 注意: A为不可能事件 P(A)=0 （2)有限可加性 对于n
3、个两两互不相容的事件A1,A2，A ,P(A1A2An）P（A）(2）+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)（3）若B,则P(A)P(B)， (B)=P(B)(A) ()对于任一事件A，P（A)1, P(A)=1-P(A).（)广义加法定理 对于任意二事件, ,P（AB）(A)+P（B)-(AB) .对于任意n个事件A1,A2，A n(-）1(A1A2 ）四等可能(古典)概型.定义 如果试验E满足:()样本空间的元素只有有限个,即S=e1,e2,e n；（2)每一个基本事件的概率相等,即(e1）=(e）= P(e n ）.则称试验所对应的概率模型为等可能(古典）概型.2计算公式
4、 P(A)k/ n 其中k是A中包含的基本事件数,n是中包含的基本事件总数.五.条件概率.定义 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P（A）=P(A) / (A) ( P(A)0）.2.乘法定理(AB)=P（)P （B|A)(P（); P（AB)=P() P (A|) (P(B)0). (A1AAn)P（)（|A1)（3|AA2)P(A n|A1A2A n1) (2， P（A1AA -1) )3. B1,2,B n是样本空间的一个划分(Bij=,j,i，=1,，,n,B1B2BnS) ,则当P(B i)0时,有全概率公式P（A）=当(A)0, ( )0时,有贝叶斯公式P （B|A)= .六.
5、事件的独立性 .两个事件,B,满足P(AB） = (A) P()时,称A，B为相互独立的事件（1)两个事件A,B相互独立 P(B)= （B|A） .（)若A与B,A与，与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件,B,C满足P(AB) =(A)P（B)， P（AC) (A) P（C）， P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P（AB） =P()P(B)P(C),则称A，C三事件相互独立.3n个事件A1，A2，,A n,如果对任意k(n),任意i1ikn.有，则称这个事件1,A2，,A 相互独立第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其
6、分布函数1.在随机试验E的样本空间S=e上定义的单值实值函数=X（e)称为随机变量2.随机变量X的分布函数F（)=Xx , x是任意实数. 其性质为:(1)0(x）1 ,(-）=,(）=1. (2）()单调不减,即若x2 ,则 F(1)F(）(3)F(x)右连续,即(x0)=F() (4)x1Xx2=F(x2)().二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)离散型随机变量的分布律 PX=x k p （k=,） 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 P1 ; (2)归一性 .离散型随机变量的分布函数 F(x)=为阶梯函数,它在x=x k （k=1,2,)处具有跳跃点,其跳
7、跃值为p kX=x k .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1）（-)分布 X=1= ,PX=0=1p (0p1) .(2）X（n，p)参数为n，p的二项分布PXk(k,1,2,n) (0p0）三连续型随机变量1.定义 如果随机变量的分布函数(x)可以表示成某一非负函数f(x）的积分F(x)=,- x ,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).概率密度的性质(1)非负性 f(x）0 ； (2)归一性=1 ；(3)Px 1X2 ; (4)若 (x）在点x处连续,则f（x）F/(x) .注意:连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零，即P=a=3三种重要的连续型随机变
8、量的分布()XU (a,b)区间(a,b)上的均匀分布 . （2)X服从参数为q的指数分布 （q0）.（3)XN (m,s2 )参数为,s的正态分布 -x0.特别, =0， s2 1时,称X服从标准正态分布,记为N (0，1),其概率密度 ， 标准正态分布函数,F(-x)=1-（x) .若 (m,s2), 则Z=N (0,1），x1Xx2=()-().若PZz PZza= a,则点z a，-z a, z a/2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.注意：F( a)=-a , - a -z a四随机变量的函数Y= g （X)的分布.离散型随机变量的函数 Xx 1 x p kp 1 p2 p
9、 k Y=g（X)g(x) g（x2) g(k) 若g(k） （k=1,2，)的值全不相等,则由上表立得Yg(X）的分布律.若g(x k） （=1，2，）的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Yg（X)的分布律.2连续型随机变量的函数若X的概率密度为f(x),则求其函数=g(）的概率密度fY(y）常用两种方法:(1)分布函数法 先求Y的分布函数FY(y）=Yy=Pg(X）y=其中(y)是与g（X）对应的的可能值所在的区间(可能不只一个)，然后对y求导即得fY()=FY/().(2)公式法 若(x)处处可导,且恒有g /(x)0(或g / (x） ）,则Y=g (）是连续型随机变量,其
10、概率密度为 其中h(y)是()的反函数 , a= min (g ()，g() b= ax （ (-），g (）) .如果 (x)在有限区间a,b以外等于零，则 a= min( (a),g () bax (g(a）,g(b）) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数定义 若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量，则由它们所组成的向量(,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,)=Px,Yy称为（,Y)的(X和的联合)分布函数.分布函数的性质（1)(x,y)分别关于x和单调不减.（2)0(,y) , F(x, )=0, F(-，y)=0,
11、 (-,-)=0, F(,)1（）（,y）关于每个变量都是右连续的,即(x+0,y）= (,y), F（x,y+） (x,y) .(4)对于任意实数x x 2， y 1 2Px 1Xx 2 , Yy = F(x，y2)- F（x2,y1)- F(x1,y2）+(x1,1)二二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量（X,)只能取有限对或可列无限多对值（ i， j) (i,j =1,2,)称(X,Y）为二维离散型随机变量.并称X= ,Y j = pi j为（X,Y)的联合分布律也可列表表示. 性质（1)非负性 p i j1 . (2)归一性 . 3. （,)的(和Y的联合)分布函数F(
12、x,y)三二维连续型随机变量及其联合概率密度 定义 如果存在非负的函数f(，y）,使对任意的x和y,有F(x,y)=则称(X，Y)为二维连续型随机变量,称(x，)为(X,Y)的(和的联合)概率密度.性质 (1）非负性 f (x，）0 (2）归一性 ()若 (，y)在点（x,y）连续,则(）若G为xoy平面上一个区域,则.四.边缘分布1 （,Y）关于X的边缘分布函数 X(x) = x , Y= F( , ).(X,Y)关于Y的边缘分布函数Y （） = PX, Yy= F (，)二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律 PX= x i= i (i =，,) 归一性 关于的边缘分布律 P=j = = pj ( =1，,) 归一性 .3.二维连续型随机变量（X,)关于的边缘概率密度f X（x)= 归一性关于Y的边缘概率密度f Y (y) 归一性五.相互独立的随机变量.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y）= FX (） FY (） ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量和Y相互独立pi j p ipj （ ,=1,2,)对一切i,yj成立.3.
