《离散型随机变量的分布列、均值与方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散型随机变量的分布列、均值与方差（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、离散型随机变量的分布列、均值与方差基础知识导航重温教材扫清盲点1. 离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1X2 x.i xnPp1P2 pi pr n(1) 分布列的性质 p产0, i= 1,2,3,，n. 工p二1ii=1(2) 均值称E(X)=x1p1+x2p2HxpAHxnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(3) 方差称D(X)=工(x -E(X)2)P为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏iii=1离程度，其算术平方根；顶石为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E(aX+b)=
2、aE(X) + b.(2) D(aX+b)=a2D(X). (a, b 为常数)3. 判断下列结论的正误(正确的打“V”错误的打“ X”)(1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.(丿)(2) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小， 则偏离变量平均程度越小. (V )(3) 离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(X)(4) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. (V )(5) 期望值就是算术平均数，与概率无关. (X )(6) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量. (X)(7) 在篮球比赛
3、中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7， 那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( V)(8) 在一组数中，如果每个数都增加a,则平均数也增加a.(M)(9) 在一组数中，如果每个数都增加a,则方差增加a2.(x)(10) 如果每个数都变为原来的a倍，则其平均数是原来的a倍，方差是原来的a2倍.(V)考点典例领航核心考皂深化突破则 q 等于 ()A1C1D1f 1 一2q0,解析：由分布列的性质知q20、*+1 -2q+q2= 1,.q=1答案： C(2)设离散型随机变量X的分布列为求：2X+1的分布列;IX11的分布列.解： 由分布列的性质知：X01234P0
4、.20.10.10.3m0. 2+0.1 + 0.1 + 0.3+m=1,m=0.3.首先列表为从而由上表得两个分布列为X012342X+113579IX1110123考点一 离散型随机变量的分布列及性质命题点1. 写随机变量的分布列2. 求随机变量分布列的参数例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P121 2qq2IX1I0123P0.10.30.30.32X+1的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3IX11的分布列为方法引航 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个 概率值均为非负数.跟踪巡航(2)求随机变量在某个范
5、围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值 概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.强化训练提升考能1 随机变量的分布列为：其中 a，b，c成等差数列，若E(=3，则D()=e-101pabc解析：由 a， b， c 成等差数列及分布列性质得，a+b + c1,解得 b=3, a=6, c=2. 2b=a+c,、a+c=3，D = 6x (-1 - 3)2 +|x (0 - 1)2 +|x (1 - 3)2 =5.答案：52在本例(2)条件下，求 X2 的分布列解：X2的分布列为X01234X2014916P0.20.10.10.30.3考点二 离散型随机变量的均值与方
6、差1求离散型随机变量的均值与方差 命题点2利用均值方差安排工作例2(2017湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品， 产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分 不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计 如下：得分60,70)70,80)80,90)90,100甲种产品的件数5103411乙种产品的件数812319 试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率； 生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种 产品，若是合格品可盈利90元，若是不合
7、格品则亏损15元，在的前提下：a.记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数 学期望；b求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率.45 340 2解：甲种产品为合格品的概率约为60=4，乙种产品为合格品的概率约为60=3-a.随机变量X的所有取值为190,85,70,35,321311121111且 P(X=190)=4X3 = 2, P(X=85)=4X3=4, P(X=70)=4x3 = 6, P(X=35)=4X3=-所以随机变量X的分布列为X190857035P111124612一 190,85,70 35所以 E(X) = 2 + 4 +
8、6 12 = 125.b 设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5n)件,25依题意得，90n 15(5n)300,解得n三，取n=4或n = 5,设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A,2 1 2 112丿、则 p(A) c4(3)43+(3)5 =243,(2016高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间 如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为 此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数
9、，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. 求 X 的分布列； 若要求P(XWn)0.5,确定n的最小值； 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n = 19与n = 20之中选其一，应选用哪 个？解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为&9,10,11 的概率分别为 0.2， 0.4,0.2,0.2.从而P(X= 16) = 0.2 X 0.2 = 0.04;P(X= 17) = 2 X 0.2 X 0.4 = 0.1
10、6;P(X= 18) = 2X 0.2 X 0.2 + 0.4 X 0.4 = 0.24;P(X=19)=2X0.2X0.22X0.4X0.2=0.24； P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2；P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08；P(X=22)=0.2X0.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 由知P(XW18) = 0.44, P(X 19) = 0.68，故n的最小值为19. 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当 n= 19 时，E(Y) = 19X200
11、X0.68 + (19X200 + 500)X0.2 + (19X200 + 2X500)X0.08 + (19X200 + 3X500)X0.04=4 040.当 n = 20时，E(Y) = 20X200X0.88 + (20X200+500)X0.08 + (20X200+2X500)X0.04=4 080. 可知当 n= 19 时所需费用的期望值小于当 n= 20 时所需费用的期望值，故应选 n= 19.方法引航(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2) 已知随机变量E的均值、方差，求E的线性函数n = ag+b的均值、方差和标准差，可直接 用
12、d的均值、方差的性质求解；(3) 由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.跟踪巡航强化训练提升考能某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天 营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率 视为概率(1) 求当天商店不进货的概率；(2) 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列解：1)P (当天商店不进货)=p(当天商品销售量为0件)+p(当天商品销售量为1件)=20+20=3(2)由
13、题意知， X 的可能取值为 2,3.P(X=2)=P (当天商品销售量为1件)=20=P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件) =丄+2+丄=320+20+20 4.所以 X 的分布列为考点三 与二项分布有关的均值与方差1. 利用公式求概率命题点2. 求二项分布的均值与方差例 3 (1)若 XB(n, p),且 E(X) = 6, D(X) = 3,则 P(X=1)的值为()A. 32-2B. 2-4C. 32-10D. 2-8解析：*E(X)np 6, D(X)=np(1 p) = 3,p=2，n 12，则 P(X= “二。.()11 =32-10.答案： C(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时 刻发生故障的概率分别为和p.49 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为59,求p的值； 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量&求e的分布列及均值 E解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1 4911 _P( C ) = 1_p=50，解得 P=5由题意，得1 1 1 1 27陀=0)=(币)3 =1000,陀=1)=C3(1-応)()2 =1000，112431729P(e=2)=C3X (1 -帀)2 X=T，P(e
