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1、因式分解一点通第一讲 因式分解(一)把一个多项式分解成几个因式的连乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。因式分解的要求有七项：1. 单项因子须写在多项式因子的前面；2. 相同因式须写出幂的形式；3. 最后运算必须是乘法；4. 分解必须彻底（即不再能继续分解）；5. 分解的结果不允许有双重以上的括号；6. 各多项式因式的首项必须取“”号；7. 每一个多项式因子须是按同一字母的升幂或降幂排列的最简形式。多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于
2、培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下几讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-
3、3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2
4、+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-
5、b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a
6、+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论
7、例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相
8、反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+
9、(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)
10、将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1
11、)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，
12、而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验 课后练习（1）一、选择题1. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）。（A）(x+1)(x-1)=x2-1 (B)(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) (C)ab-a-b+1=(a-1)(b-1)(D)m2-2m-3=m(m-2-)2. x=0,y=-4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有（ ）组。（A）2 (B)6 (C) 12 (D)163. 当x=6，y=8时，的值是（
13、）（A）1200000-254000 （B）1020000-250400（C）1200000-250400 （D）1020000-2540004. 把多项式x2-y2-2x-4y-3因此分解之和，正确的结果是（ ）。(A)(x+y+3)(x-y-1) (B)(x+y-1)(x-y+3) (C)(x+y-3)(x-y+1) (D)(x+y+1)(x-y-3)5. 已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是（）。（A）8（B）4（C）6（D）166. 将多项式分解成因式的积，结果是（ ）。 （A） （B） （C） （D）二、填空题1. 已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是_。2. 已知3x2+4x-7=0,则6x4+11x3-7x2-3x-7=_ 。3. 分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=_。4. 已知，那么 。5. 多项式18a3-8ab2+27a2c-12b2c分解因式积的形式是_。6. 分解因式：的结果是 。7. 分解因式：(a+b-2x)3-(a-x)3-(b-x)3的 结果等于_三、解答题1. 分
