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1、昆明学院2010届毕业设计（论文）设计（论文）题目 行列式的计算方法研究姓 名学 号 S006054127所属系数学系专业年级 数学与应用数学2006级数学1班指导教师2010年5月摘要在线性代数中，行列式是个函数。在本质上，行列式描述的是在n维空 间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的槪念出现 的根源是解线性方程组。本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对 计算方法进行举例。其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可 利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用 行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。最后， 值得注意
2、的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式 的特点选择适当的方法了。关健词：行列式 计算方法方法举例word版木.AbstractIn linear algebra, the determinant is a function. In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation. The formation of Mparallei polyhedron and volume”.The concept of the mot of the determinant
3、there is solution of linear equations .The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example n-order determinant have many the calculation methods, Fewer non-zero elements Can be calculated using the definitionC 1. In accordance with the start of a col
4、umn or a row. 2. Full expansion.) More determinant of the nature of the calculation is to use In particular, observe the characteristics of the subject request, Flexible Selection Method. It is to be noted that In the same determinant some ti mes will have di f fere nt methods for solving Here are s
5、ome conunonly used methods and i1 lustrate with examplesmothedsillustrate withKeywords: Determinant Calculationexamples目录前言1第一章普遍法求行列式1.1利用行列式的定义直接计算 .21.2利用行列式的性质计算 .21.3化为三角形行列式 .31.3.1直接化为阶梯型 .31.3.2相同去项化上三角形 .4第二章 特殊法求行列式2.1降阶法（按行（列）展开法）.52.1.1先简后展. 52.1.2按第一行（列）展开.62.2递（逆）推公式法.72.2.1等差数列递推.72.2
6、.2 “一路直推”.92.2.3对角递推.92.3利用德蒙行列式.112.3.1变形徳蒙行列式.112.3.2系数徳蒙行列式.122.3.3利用行列式性质凑徳蒙行列式.13第三章其他方法求行列式3.1加边法（升阶法）.143.1.1 “0”和“字母”加边.143.1.2 “0” 和 “1” 加边.143.2数学归纳法. 163.2.1第一数学归纳法. 163.2.2第二数学归纳法 . 173.2.3 猜测归纳法 .173.3拆开法. 193.3.1对角拆开.193.3.2按行（列）拆. 19参考文献 .21.辞22word版木.前言在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个
7、 标量，写作det(A)-在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变 换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分中(比如说 换元积分法中)，还是在线性代数中都有重要应用.如判断矩阵A的可逆性， 行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数 个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有“个方程和个未知数 的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯 一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列 式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此
8、并没有实 际应用价值，一般用于理论上的推导。行列式概念的最初引进是在解线性方 程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行 列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向 量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式， 这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示 是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有 不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因 子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决 定
9、于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数 还是奇数。第一章普通法求行列式1.1利用行列式定义直接计算0 0100 . 200例1计算行列式。=.-n -10000 00n解 0中不为零的项用一般形式表示为 勾l“2,l2匕T1%该项列标排列的逆序数r(n-ln-2l)等于(-1)(-2),2故 D“=(1)“!.总结：对上面的例题，可以看出，行列式中0元素比较多的，那么用定义法 计算比较简略。对于这一类型行列式形状，我们为了方便计算逆序数，最好把 它的个数做成等差或等比数列。1.2利用行列式的性质计算例1 ： |A|= q ，个阶行列式D” = ai的元素满足=Tgi、j
10、 = 2,则 称几为反对称行列式。证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由 ciij = -ajj 知= -an 即心=0, j = 1,2,故行列式2可表示为2 =120_23，由行列式的性质0一 12一山3 05120一23_如a20如,D严13a230 _3”=（-ir_3一 230仏ana2na3n0_ an_ a2n 0当”为奇数时，得Dn = -Dfl /因而得Dn = 0.=（一1）31.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元 素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化为三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行
11、列式计 算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的 定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角 形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶 数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先 利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。1.3.1直接化为阶梯形1-3-132-7-391-5例1计算行列式0 =204-213-57-1464-410-102解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算(2) + 3(!)(3)-2(!)1-12-3
12、11-12-311-12-31(4)-3(!)00 -1 0 - 2()204-10 204 -1(5)-4 1(4) + (2)iD 02041一（)0-10-2-0 01 020-21-53)-21-53001-1200 2 2 -2|1)0 2 2 -20 0 2 2 -21-12-31 11-12-31(4)+(3)0304-1：)204-1（5）+ 2（3）（5）+ 2（4）()0-10-2 -0 0-10-2=-1-2(-1)(-1)(-6) = 120 0 0 -1)0 0 0 -100 0 0 2 -60 0 0 0-61.3.2相同去项化上三角形1 + q q 例题2：计算阶
13、行列式q1 +色解：这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的 且各列的 结构相似，因此n列之和全同将第2，3，歹U都力口到第一歹U上，就可以 提出公因子且使第一列的元素全是1 1+(Z + + 匕1 651 + ( + “2 + + “)1 + “25/fl、11 + a2 $51+(耳+“2+ + )61 +佝51+弘1-11a21 + 5l + (q+“2+. + “261+“”11+“第二章特殊法求行列式阶法2.1按行（列）展开法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地 是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行 列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展 开。2.1.1先简再展1 231819202 12171819例1:计算20阶行列式00=321.161718201918.321分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按
