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1、【母题来源一】 2016高考新课标1卷【母题原题】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）（）（II）考点：圆锥曲线综合问题 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这
2、类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【母题来源二】 2016高考天津【母题原题】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（）先化简条件：，即M再OA中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判
3、别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围【命题意图】本类题通常主要考查由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等知识的理解，以及求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题,求变量的取值范围等问题，其中直线与椭圆的位置关系、
4、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答题的形式出现，难度为中档题或难题，是高考中区分度较大的题目.高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）;与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；探求曲线方程中几何量及参数间的
5、数量特征(很少). 解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低.特别是今年的全国高考试题,解答题中解析几何中共有六个是考查参数的取值范围.【得分要点】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数待定系数法；另一
6、类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点 依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程2.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则
7、交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题. 弦长公式：（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；若抛物线的焦点弦为AB,，则有,.（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点
8、弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.3.与焦点三角形相关的结论:椭圆上的一点与两焦点所构成的三角，通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，设,则在椭圆中，有以下结论：(1)，且当即为短轴端点时，最大为；（2）；焦点三角形的周长为； (3)，当即为短轴端点时，的最大值为；4.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论
9、.5.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.6.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.常见的几何方法有：(1)直线外一定点 到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；(2)圆 外一定点到圆上各点距离的最大值为 ，最小值为 (为圆半径)；(3
10、)过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；(4)圆锥曲线上本身存在最值问题，如椭圆上两点间最大距离为 (长轴长)；双曲线上两点间最小距离为 (实轴长)；椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为 ，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近常用的代数方法有：(1)利用二次函数求最值；(2)通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用基本不等式求最值；(4)利用导数法求最值；(5)利用函数单调性求最值. 7.参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解
11、不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.8.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在. 解决存在性问题应注意以下几点：1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等
12、式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.9.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身
13、份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.10.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.11. 解析几何
14、与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线；（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；（8）给出,等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给
15、出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.【母题1】已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.若，求圆的方程；设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或； .【解析】当，由，知的方程为,由消去，得,则,考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用. 【名师点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.【母题2】已知椭圆：，离心率为，焦点过的直线交椭圆于两点，且的周长为.（1）求椭圆方程；（2）与轴不重合的直线与轴
