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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知全集U=R，集合，那么 ( )(A)() (B)() (C)(-1，1) (D)(2)复数( ) (A) (B ) (C) (D)(3)如果，那么( )(A) (B) (C) (D)(4)若是真命题，是假命题，则( )(A)是真命题 (B)是假命题 (C)是真命题 (D)是真命题(5)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )(A)32 (B)16+(C)48 (D)(6)执行如图所示的程序框图，若输
2、入A的值为2，则输出的P值为( )(A)2 (B)3(C)4 (D)5(7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )(A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件(8)已知点。若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)在中，若，则 .(10)已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .(11)已知向量。若与，共
3、线，则= .(12)在等比数列中，若则公比 ； .(13)已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . (14)设R)。记为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ； 的所有可能取值为 。 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数()求的最小正周期；()求在区间上的最大值和最小值。(16)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示。 ()如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；()如果X
4、=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。 (注：方差其中为，的平均数) (17)(本小题共14分) 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。()求证：平面；()求证：四边形为矩形；( )是否存在点，到四面体六条棱的中点 的距离相等？说明理由。(18)(本小题共13分) 已知函数。()求的单调区间；()求在区间上的最小值。(19)(本小题共14分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。()求椭圆的方程；()求的面积。(20)(本小题共13分)若数列满足 ，则称为数列。记。()写出一个数列满足；()若，证明：
5、数列是递增数列的充要条件是；()在的数列中，求使得成立的的最小值。 2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案与解析第一部分(选择题 共40分)(1)【解析】：，故选D(2)【解析】：，选A。(3)【解析】：，即故选D(4)【解析】：或()一真必真，且()一假必假，非()真假相反，故选D(5)【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选B。(6)【答案】C【解析】执行三次循环，成立，成立，成立， ，不成立，输出，故选C(7)(8)第二部分(非选择题 共110分)(9)【答案】【解析】：由正弦定理得又所以 (10)【答案】2【
6、解析】：由得渐近线的方程为即，由一条渐近线的方程为得2(11)【答案】1【解析】：由与共线得(12)【答案】2 【解析】：由是等比数列得，又 所以(13)【答案】(0，1)【解析】单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)。 (14)【答案】6 6，7，8，【解析】：在, , 时分别对应点为6,8 ,7。在平面直角坐标系中画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；设与边的交点为 ，与 边的交点为，四边形内部(不包括边界)的整点都在线段上，线段上的整点有3个或4个，所以，不难求得点，当为型整数时，都是整点，当为型整数时，都不是整点，当为型整数时，
7、都不是整点，(以上表述中为整数)上面3种情形涵概了的所有整数取值，所以的值域为6，7，8 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)【解析】：()因为所以的最小正周期为()因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1(16)(本小题共13分)【解析】：()当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为()记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的
8、结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A2，B2)，(A3，B3)，(A1，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为(17)(本小题共14分) 【解析】：证明：()因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE/PC。又因为DE平面BCP，所以DE/平面BCP。()因为D，E，F，
9、G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE/PC/FG，DG/AB/EF。所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PCAB，所以DEDG，所以四边形DEFG为矩形。()存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由()知，DFEG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。与()同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.(18)(本小题共13分)【解析】：()令，得 与的情况如下：x()(0+所以，的单调递减区间是()；单调递增区间是()当，即时，函数在0，1上单调递增，所以(x)在区间0，1上的最小值为当时，由()知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，1上的最小值为；当时，函数在0，1上单调递减，所以在区间0，1上的最小值为 (19)(本小题共14分)【解析】：()由已知得解得又所以椭圆G的方程为()设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程为解得所以所以|AB|=.此时，点P(3，2)到直线AB：的距离所以PAB的面积S=(20)(本小题共13分) - 9 -
