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1、2006年杭州市数学会评选论文马登理论指导下的数学概念变式教学 杭州拱墅职高 王利庆内容摘要：数学概念作为数学思维的主要元素，是数学问题解决的基础，在数学知识体系中有重要的地位。马登理论对概念教学的启示是：概念教学中，概念习得之前与习得之后“变”的程度应有不同的侧重点和方法。本文结合教学实际，阐述了在概念教学的形成、深化、应用过程中，是如何利用变式手段，促进对概念的有效建构。关键词：变式 概念教学 马登理论数学概念是数学思维的主要元素，是数学问题解决的基础，没有概念，整个数学知识体系将无法建构，思维将无法进行。因此数学概念在数学知识体系中有重要的地位，它有效地获得和掌握可以帮助学生在没有直接经
2、验的条件下获得抽象观念，这些所获的观念可以成为同化或发现新知的“固着点”，也可以成为学生在新情景下概念学习时分类的起点；同时，数学概念之间也可以组成具有潜在意义的命题，它充当着知识网络中的节点”。因此高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。1变式理论基础及对概念教学的重要启示11变式的理论基础 概念变式就是变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论的形式或内容，从而使学生获得深刻的理性认识，提高识别、应变、概括的能力。变式教学被教师在课堂教学中充分应用，它对发展学生能力，拓展学生思维方面有重
3、要的作用。变式教学的理论依据是瑞典教育家马登的现象图式学教学理论，其主要观点是:学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生去认识对象的各个方面。该理论对学习活动解释如下： 第一，学习就是鉴别。马登指出，学习认识事物或现象就是从对象中区分出一些主要的特征，并将注意力同时聚焦于这些特征。 第二，鉴别依赖于对差异的认识。这就是马登所指的“鉴别意味并仅仅意味着主体根据自己先前的关于多多少少有所差异的对象的认知，而从物质的、文化的或感觉的世界中辨认出、察觉到了某个特征”。 第三，如果鉴别依赖于对差异的认识，那么主体所能同时经验到的关于对象的各个方面的变异的维数就直接决定了可
4、能的学习空间，进而教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面。 第四，与重复练习的数量相比，在教学中应当更加关注练习中所包含的变异的性质。 第五，联系教育目标从宏观的角度强调了所说的教学方法的重要性：今天的教育是为了帮助学生对未来作好准备。由于未来的社会显然不同于今天，并将具有更大的变异(不确定)性，因此我们就只有通过经验(体验)变异才能为未来的变异作好准备。12变式理论对概念教学的重要启示 马登的这一理论，对于概念教学至少可以得到以下两点重要启示:第一，在概念的习得(获得定义)阶段，教师应提供尽可能多的特例，包括较多的正例(所学概念所反映的对象)和一些反例(非所学概念所反映
5、的对象，但较为接近所学概念反映的对象)，使学生获得较大的辨别空间。学生通过两种辨别，一辨“是”与“不是”，将正反例区分开来;二辨正例特有的共同属性，就能较为迅速地初步抽象出所学概念的本质属性，甚至直接得出概念的定义。第二，在概念的巩固(获得定义之后)阶段，教师应充分地“变换”概念，让学生从各个不同的侧面来认识概念。这里的“变”又有两种“变化”:一种是形变实不变，让学生能辨“是”;另一种是实变形不变(形相近，似是而非)，让学生能辨“非”。通过这两种变化，提高学生的辨别能力，求得学生对概念的理性把握。在教学中，教师应把握好概念习得之前与习得之后“变”的程度，那就是习得之前的变应是较易观察的(重在初
6、步感知)，而习得之后的变应是较难辨别的(重在理性认识)，这是由教学的阶段性目标决定的，切不可随意变化。2如何在概念教学中运用变式有专家根据概念学习的心理过程模式，指出了概念教学可以按渐进线性模式：操作一表象一定义一运用一体系进行教学，该模式基于概念学习过程的时序推进角度。笔者根据这个模式，把数学概念教学分为三个阶段：概念形成、概念深化和概念应用，其中概念形成是基础，它是概念深化的前提；概念应用是目的，但须在概念形成和深化基础上才能熟练应用概念解决问题。笔者根据马登理论对概念教学的启示，分别在概念教学的形成阶段、深化阶段以及应用阶段，是如何合理创设变式问题情境，从而有效地帮助学生建构数学概念。2
7、1变式在概念形成阶段的应用由上述概念教学模式：操作一表象一定义一运用一体系，笔者把教学过程中的操作、表象和得出概念的定义三个环节理解为概念形成阶段对概念的教学要求。这个阶段的概念教学主要是获得概念的本质属性，弄清概念的内涵，属于对概念的具体层面掌握。在这个环节的教学中，笔者注重提供特例、正例、反例或充分利用原型对概念进行变式教学，通过变式以加深概念的本质属性。变式的形式丰富多彩，如可以利用图形变式、语言变式、符号变式等等。对于几何概念，较多的可以采用图形变式，通过直观形式刺激，形成概念；对于陈述性语义的概念，则可以通过语言的变式；而用数学符号表示的概念则可以利用符号变式。当然，上述所述的概念变
8、式形态不是隔阂的，而是相互转化和相互联系的。案例1异面直线概念教学得出异面直线定义以后，设置以下的变式判断：不相交和不平行的直线称为异面直线空间两条不相交直线是异而直线.分别在两个不同平而内的两条直线是异而直线. 不同在一个平而内的两条直线是异而直线，从而较完整地建构异面直线的概念。这是一组利用语言变式进行教学的案例，类似的可以采用这种变式的概念很多，如角概念的定义、映射的概念、n次独立随机事件的概念等等，都可以设置一组雷同的概念让学生对其的正误进行判断，从而获得概念的本质属性，在具体解决问题的过程中能正确分辨本质与非本质特征。案例2正三棱锥的概念教学底面是正三角形，顶点到底面的垂线足是底面的
9、中心，学生对下图（1）的形式比较熟悉，该图中底面 ABC为正三角形，0为正三角形中心。而把它放倒画出来的图( 2)学生在认知上并不能很顺利地归纳到自己的认知结构中，因此通过呈现感知，加强空间想象力。 图1对于立体几何空间位置关系概念的教学中，可以设计图形变式，通过变换图形的形状和位置，多样化、多角度呈现图形的非本质属性，丰富学生的直观感知，加深对空间概念的理解和想象，从而克服思维定势带来的负作用，发展思维的深刻性和广阔性。利用图形变式方法在立体几何概念形成教学中的案例很多，如直线和平面垂直，直线和平面平行，面面平行、垂直，直线和平面所成的角等等位置关系，都可以呈现多样的位置关系。这些环节的设置
10、，可以在较短时间内增强学生的空间想象力（下图3组为直线和平面垂直的关系的变式）（ 图3） （图4）（图（4）组为直线和平面所成角的一般情况以及在不同情景下所成角的背景。） 22变式在概念深化过程的应用abcdeFGHJKMlabcdeFGHJKMlabcdeBAAB图5对概念渐进线性教学模式：操作一表象一定义一运用一体系中，笔者把概念深化理解为形成概念阶段之后与运用概念解决问题之前这个阶段，为什么这样处理呢？那是因为根据教学实际经验，不同的学生个体，在运用概念这个环节中，有较大的差异性，（也可以广义地理解为数学学习强者与弱者的真正差异）有些学生在获得概念定义之后，能较快地理解概念的内涵和外延，
11、区分概念的本质属性和无关属性，从而在不同的场景中正确应用，解决问题，他们的迁移能力就强。如在获得映射的概念后（对于给定的两个集合A,B，对于集合A中的任意一个元素在集合B中有唯一的元素和它对应，则称该对应为A到B的一个映射），有的就能熟练判断以下对应是否为映射： （图5）A中元素没用完的情形，及B中元素有多余情形是不是映射，有的甚至对以下问题也能正确判断.下列对应是集合M到集合N的映射的是：（ D ）A.M=N=R,f: B. M=N=R,C. M=N=R, D. M=N=R,有的学生则不然，他们在得出概念定义与运用概念解决问题间的认知“距离”比较远，这就需要教师创设情景。创设变式情景，有利于
12、学生较快地缩短概念定义与概念应用间的认知距离。因此，笔者在概念教学过程中构建概念深化的环节，以便能顺利地运用概念解决问题。通过概念深化，主要可以拓展概念外延，使学生对概念的理解由直感感知到理性抽象，由零散杂乱的概念认知结构向完整严谨的认知结构发展，从而完整建构整个概念。案例3函数奇偶性概念教学得出奇偶函数定义之后，我设置了以下一组变式问题，由学生讨论解决，加深对概念的理解。 (1) .f(x)=x2是偶函数吗?为什么？ (2) f(x)=x2(x0)是偶函数吗?为什么?(3) f(x)=x2(x1)是偶函数吗?为什么?(4) f(x)=x2是偶函数吗?为什么，(5) f(x)=x2(x) 是偶
13、函数吗?为什么?(6)是奇函数吗?为什么?(7)是奇函数吗?为什么? （7）的奇偶性，为什么?（8）的奇偶性，为什么?。 通过对上述问题的讨论解决，强化函数奇偶性这一概念的理解。引导学生得出下述结论:奇偶函数的定义域必关于原点对称;函数的奇偶性是函数的整体性质;若f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则必有f(0)=0；在定义域对称情况下是既奇又偶函数。对函数奇偶性的定义式加以整理，得到其等价形式: 当恒不等于零时案例4对案例2图三直线和平面所成角的概念教学中，可以让学生再回答特例（如图6）所成角情况，从而完整建构相关概念。 （图6）概念深化阶段，就是不断的净化概念的本质属性，排除概念非本质属
14、性的干扰，使得学生对概念的理解更加精确。通过对概念设置变式，在大量的概念辨析基础之上，对概念的本质属性和非本质属性有着透明的理解，为下一阶段概念的正确灵活应用打下扎实的基础。23变式在概念运用环节的应用概念教学的终极目标是解决问题，使学生在解决问题的过程中提高能力，优化思维过程，完善认知结构。因此，概念教学过程概念的运用是既是教学目标也是对概念的进一步巩固和掌握。运用变式手段，多角度对概念的本质和外延进行实践应用，从而有效建构概念，使概念的清晰本质纳入到自己的认知结构中。案例5直线和平面所成角的概念的应用设计如下的题组:(1)直线固定不变，把平面作各种不同的变式，如甲图的正方体中 求BD1和下
15、底面AC所成的角; BD1和对角面A1C所成的角; BD1和截面A1BC1所成的角;(2)平面的位置不变，把直线作各种位置的变式，如图乙正方体中.求:BB1和截面A1BC1所成的角; AC和截面A1BC1所成的角; B1C和截面A1BC1所成的角。案例6抛物线定义的引申变式（1）抛物线y2=2px上的一点M(4,m)，它到焦点的距离等于6，则m2p( )（2）动点P到直线的距离减去它到M(2，0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）A直线B椭圆C双曲线D抛物线（3）已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，又抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，则m=( ),此抛物线方程为（ ）（4）已知抛物线x2=4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为（12，6），则P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值是（ ）3对概念变式教学的思考31合理变式，把握三个度和四个原则任何事物都要合理恰当用运，否则将过犹不及，变式策略在概念教学过程中应用也一样。笔者在采用概念变式教学的过程中，认为概念问
