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1、第7章 稳恒磁场我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用.7.1 磁场 磁感应强度一、磁场人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到18191820年奥斯特(H.C.Oersted,17771851)发现电流的磁效应后,人们才认识到磁与电
2、是不可分割地联系在一起的.1820年安培(A.M.Ampere,17751836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电荷(电流)产生
3、磁力作用,其关系可表示为磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.二、磁感应强度1 磁感应强度为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论.实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指向一致.我们将这一方向规定为 磁感应强度的方向.(2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点
4、的磁场与速度方向所确定的平面,如图7.1所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量、经该点时的速率以及该点磁场的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最大,用表示.(3) 不管、和电荷运动方向与磁场方向的夹角如何不同,对于给定的点,比值不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以B表示,即 (7.1)在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T）.有时也采用高斯单位制的单位高斯（G） 1G =1.010 -4 T2 磁感应线为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电
5、场线的方法引入磁感应线(或叫B线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点B的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.磁感应线具有如下性质：(1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线；(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.7.2 毕奥萨伐尔定律及其应用一、 毕奥萨伐尔定律在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线
6、可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在19世纪20年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥萨伐尔拉普拉斯定律,简称毕奥萨伐尔定律,其内容如下：电流元Idl在真空中某一点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小及电流元与它到P点的位矢 r 之间的夹角的正弦乘积成正比,与位矢大小的平方成反比；方向与Idlr的方向相同.（这里用到矢量Idl与矢量r的叉乘.叉乘Idlr的大小为Idlrsinq；其方向满足
7、右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从Idl转向r的方向,那么拇指所指的方向即为Idlr的方向,如图7.2所示）其数学表达式为 (7.2)式中k为比例系数,在国际单位制中取为 (7.3)为真空的磁导率,其值为,所以毕奥萨伐尔定律在真空中可表示为 (7.4)其矢量形式为 (7.5)利用叠加原理,则整个载流导线在P点产生的磁感应强度B是(7.5)式沿载流导线的积分,即 (7.6)毕奥萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.二、 毕奥萨伐尔定律应用举例1 直线电流的磁场设在真空中有一长为 L的载
8、流导线MN ,导线中的电流强度为I ,现计算该直电流附近一点P处的磁感应强度B .如图7.3 所示,设a为场点P到导线的距离,为电流元Idl与其到场点P的矢径的夹角,1、2分别为M、N 处的电流元与M、N 到场点P的矢径的夹角.按毕奥萨伐尔定律,电流元Idl在场点P产生的磁感应强度dB的大小为dB的方向垂直纸面向里（即Z轴负向）.导线MN上的所有电流元在点P所产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即 则上积分为 (7.7)B的方向垂直于纸面向里.对于无限长载流直导线( ),距离导线为a处的磁感应强度大小为 (7.8)2 圆电流轴线上的磁场
9、在半径为R 的圆形载流线圈中通过的电流为I ,现确定其轴线上任一点P 的磁场.在圆形载流导线上任取一电流元Idl,点P相对于电流元Idl的位置矢量为r,点P到圆心O的距离OP =x ,如图7.4所示.由此可见,对于圆形导线上任一电流元,总有Idlr ,所以Idl在点P 产生的磁感应强度的大小为 dB的方向垂直于Idl和r所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点P产生的磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点P为顶点、以OP的延长线为轴的圆锥面上.将dB分解为平行于轴线的分量和垂直于轴线的分量.由轴对称性可知,磁感应强dB的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度B的大小就等于各电流元在点P所产生
10、的磁感应强度的轴向分量的代数和.由图7.4可知 所以总磁感应强度的大小为 (7.9)B的方向沿着轴线,与分量的方向一致.在圆形电流中心(即x = 0)处,其磁感应强度为 (7.10)B的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为的一段圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为 (7.11)可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁矩
11、这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩m定义为 (7.12)式中S是圆形电流所包围的平面面积,n是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替.利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为,n是单位长度的匝数,I是每匝导线的电流强度.例7.1电流为I的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图7.5所示的形状.圆弧半径为R, 1=450,2= 135o.求该电流在O点处产生的磁感应强度.解：将载流导线分为ab,
12、bc,cd 及de四段,它们在O点产生的磁感应强度的矢量和即为整个导线在O点产生的磁感应强度.由于O在ab 及de的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 由图7.5知, bc弧段对O的张角为90 o ,由（7.11）式得 其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流cd段所产生的磁感应强度为其方向亦垂直纸面向里.故O点处的磁感应强度的大小为方向垂直纸面向里.作业(P172)：7.14，7.187.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥萨伐尔定律,电流元Idl在空间的一点P 产生的磁感应强度为 如图7.6所示,设S是电流元Idl
13、的横截面的面积,并设在导体单位体积内有n个载流子,每个载流子带电量为q,以速度沿Idl的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截面S的电量为,亦即电流强度为,则,如果将q视为代数量,Idl的方向就是的方向,因此可以把dl中的矢量符号加在速度上,即.将Idl 这一表达式代入毕奥萨伐尔定律中就可得 其中dN = nSdl代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN = nSdl个载流子产生的,那么每一个电量为q ,以速度为运动的点电荷所产生的磁感应强度B为 (7.13)B的方向垂直于和r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要
14、考虑相对论效应,其结果见14.5节.7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积S的磁通量的定义是 (7.14)即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1Tm2 .据此,磁感应强度的单位T也常写作Wb/m2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面S,由于磁感应线是无头无尾的
