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1、自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记前言概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。预备知识（一）加法原则引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到
2、上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。【答疑编号：10000101针对该题提问】解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。一般地有下面的加法原则：办一件事，有m类办法，其中：第一类办法中有n1种方法；第二类办法中有n2种方法；第m类办法中有nm种方法；则办这件事共有种方法。（二）乘法原则引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种
3、？【答疑编号：10000102针对该题提问】解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘32=6生成。一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；第m步骤的方法有nm种；则办这件事共有种方法。 （三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。 排列数的计算公式为：例如：（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
4、组合数的计算公式为例如：=45组合数有性质 （1），（2） ，（3）例如：例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103针对该题提问】解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数（种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104针对该题提问】解：第一步在5件正品中取2件，取法有（种）第二步在3件次品中取1件，取法有（种）由乘法原则，取法共有103=30（种）第一章 随机事件与随机事件的概率1.1随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下则出现两次
5、面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6则出现偶数点的事件A，点数4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件
6、。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作，当然是必然事件。（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含
7、事件A，记作。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数2，B表示掷出的点数3。A=1，2，B=1，2，3。所以A发生则必然导致B发生。显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。（四）事件的运算 （1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3则和事件A+B=1，2，3，5显然有性质若，则有A+B=BA+A=A（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则AB=1，
8、3显然有性质：若，则有AB=AAA=A（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则A-B=5显然有性质：若，则有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB= （5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5，则显然，对立事件有性质：注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互
9、不相容，但不对立。下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间。图1.1表示事件事件A图1.2阴影部分表示A+B图1.3阴影部分表示AB图1.4阴影部分表示A-B图1.5表示A与B互不相容图1.6阴影部分表示事件的运算有下面的规律： （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生【答疑编号：10010101针对该
10、题提问】（2）A，B，C三事件都发生【答疑编号：10010102针对该题提问】（3）A，B，C三事件都不发生【答疑编号：10010103针对该题提问】（4）A，B，C三事件不全发生【答疑编号：10010104针对该题提问】（5）A，B，C三事件只有一个发生【答疑编号：10010105针对该题提问】（6）A，B，C三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106针对该题提问】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示
11、三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3【答疑编号：10010107针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生【答疑编号：10010108针对该题提问】（2）A与B至少有一个发生而且C不发生【答疑编号：10010109针对该题提问】（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生【答疑编号：10010110针对该题提问】（4）A，B，C中最多有一个发生【答疑编号：10010111针对该题提问】（5）A，B，C中恰有两个发生【答疑编号：10010112针对该题提问】（6）A，B，C中
12、至少有两个发生【答疑编号：10010113针对该题提问】（7）A，B，C中最多有两个发生【答疑编号：10010114针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记AB+AC+BC（7）简记例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑编号：10010115针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116针对该题提问】（3） ；【答疑编号：10010117针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010118针对该题提问】（5）；【答疑编号：10010119针对该题提问】（6）；【答疑编号：10010120针对该题提问】（7），【答疑编号：1
13、0010121针对该题提问】（8） 。【答疑编号：10010122针对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可验算对偶律，=，=正确例5，（1）化简；【答疑编号：10010123针对该题提问】（2）说明AB与是否互斥【答疑编号：10010124针对该题提问】解：（1）（2）例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010126针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128针对该题提问】解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件（2） 表示A，B都发生且C不发生的事件（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明
