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1、函数二级结论若奇函数f(x)在原点处有定义则f(0)0若奇函数f(x)周期为T则f(T)0,f()0需在相应点有定义幕函数yxa(aeZ)当a为奇数时为奇函数，当a为偶数时为偶函数形如yf(x),f(-x)的函数为偶函数形如yf(x)-f(-x)的函数为奇函数形如yf(卜卩的函数为偶函数ax-1形如y-的函数为奇函数ax+1形如ylog(1+b2x2土bx)的函数为奇函数a形如ylogC2bx,1)-bx的函数为偶函数a形如y一n一的函数关于点(logim，磐)中心对称ax+ma2m形如yf(x),f(2a-x)的函数关于xa轴对称形如y=f(x)-f(2a-x)的函数关于点(a,0)中心对称
2、形如yf(x-a)的函数关于xa轴对称若f(x)满足f(a,x)f(b-x)则fx关于x上?轴对称(括号内相加除以)若f(x)满足fa,x),fb-x)2c则f(x)关于点卜|2，c中心对称；b-a函数f(x，a)与函数f(b-x)关于x轴对称(括号内零点之和除以)c,d函数f(x，a),c与函数d-f(b-x)关于点(p，二)中心对称若f(x)满足f(x,a)f(x,b)则f(x)周期为|a-b若f(x)同时关于xa和xb轴对称则f(x)周期为2|a-b若f(x)同时关于(a,m)和(b,m)中心对称则f(x)周期为2|a-b若f(x)关于(a,m)中心对称同时关于xb轴对称则f(x)周期为
3、4|a-b若函数f(x)满足：f(xa)+f(xb)二C(C为常数)则f(x)周期为2|a，b|特殊地：若f(xa)二，f(x)则f(x)周期为|2若函数f(x)满足：f(xa)-f(xb)二C(C为常数)则f(x)周期为2|a，b|特殊地：若f(xa)=y(-)则f(x)周期为|2若函数f(x)满足f(xa)=If(；)则f(x)周期为|2若函数f(x)满足f(xa)=f:x),1则f(x)周期为|2a|若函数f(x)满足f(xa)=1,f:；)则f(x)周期为|4a|若函数f(x)满足f(xa)=爲则f(x)周期为|4a|若函数f(x)满足f(xa)=11-f(x)则f(x)周期为|3a|
4、若函数f(x)满足f(x)二f(xa)f(x2a)则f(x)周期为|6a|函数奇偶性的叠加：奇奇=奇,偶偶=偶奇/一奇=偶,=奇,偶/一偶=偶偶/-奇J奇(奇)=奇，奇(偶)=偶，偶(奇)=偶，偶(偶)=偶；(内偶则偶，内奇同外)若f(x)为奇函数则f(x)为偶函数若f(x)为偶函数则f(x)为奇函数bbf(x)二ax3bx2cxd(a0)的图像关于点(-,f(-)中心对称3a3a三角函数二级结论1. 当ABC二兀时,tanAtanBtanC二tanA-tanB-tanC兀2. 当AB=时,(1+tanA)(1tanB)二2当A+B，时,(1+2tanA)(1+3tanB)，46333sin(
5、A+B)，sinC3.在ABC中,cos(A+B)，cosC,cos2(A+B)，cos2C,tan(A+B)，tanCtan2(A+B)，tan2Csin2(A+B)，sin2C.A+BCsin，cos-22A+B.C，sin21Ctan2cos2A+Btan，4厶ABC中，若AB，(x,y),AC，(x,y)，则S，1122ABC12x1y2x2y1a+b+c5厶ABC三边长分别为a,b,c,则S，p(pa)(pb)(pc),(p，)b?c6.ABC三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则S=p-r,(p，)ABC2abcMABC三边长分别为a，b，C，外接圆半径为R，Sabc4R8.积
6、化和差：cos-cosP=2cos(P)+cos(+P)sin-sin,(P)cos(+P)2sin-cosP=-2sin(+P)+sin(-卩)cos-sinP=2|jsin(+P)sin(P)和差化积：+PPcos+cosP=2cos-cos22pc-a+P.aPcoscosP=2sm-sin22.Qc-+pPsin+sinP，2sin-cos22pa+P.aPsinsinP，2cos-sin229.正弦平方差公式：sin(+P)-sin(卩)，sin2sin2卩余弦平方差公式:cos(+P)cos(P)，cos2T 已知O为八ABC的重心，则OA,OB,OC=0TTT 已知OABC的垂心
7、，则tanA-OA,tanB-OB,tanC-OC=0(OAOB=OBOC=OAOC) 已知O为厶ABC的外心，则sin2A-OA,sin2B-OB,sin2C-OC=0(OA=OB=OC)TTTT 已知O为人ABC的内心，则aOA,bOB,cOC=0a3. 单位向量：（1）对于非零向量a，则f是与a共线的单位向量.aab(2) 对于非零向量a，b，若P=(ff,则p与a,b夹角平分线共线(3) 任意单位向量可设坐标为(cos0,sin0)4. 向量与三点共线及向量的等和线：(1)三点共线的向量表达：如图A,B,C三点共线,O为线外一点： 若OC=xOA+yOB,则x+y二1，反之也成立.AC
8、 若”=，则OC=OA,OBBC, 若AC=CB,即Oc-OA=(OB-Oc)，将此式整理即能用oA,oB,Oc中任意两个为基底表示第三个.(2)向量的等和线：如图，向量OA,OB不共线，若直线1与直线ab平行(或重合)，称直线1为基底oA,OB的等和线若P在直线1上，且OP=xOA+yOB,则x+y为定值,x+y随O与1的距离成比例扩大或缩小： 当1与AB重合时：x+y=1 当1过点O时：x+y=0当1在O与AB之间时：0x+y1当l在O与AB同侧,AB到O这一侧时：xy,05. 平行四边形对角线定理：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方之和如图：平行四边形ABCD中,AC?+BD?=（A
9、D+AB）2+（ADAB）2=2（AD+AB）6. 矩形对角线定理：矩形所在平面内任意一点到矩形两对角线端点距离的平方和相等.DCPAB如图,四边形ABCD为矩形,P为矩形所在平面上一点，则|pA|2+|pC|2=|pB|2+|pD|2数列二级结论1. 等差数列中，若a=n,且a=m,则a=0.nmnmn2. 等差数列a中，若S=n,且S=m,则S=-(m+n).nmnmn3. 等差数列a中,S=(2m1)a,S=m(a+a)SaS2q12n1P=2pL-TbT2p12n1q2q1n2m-1m2mi2m+1-i4. 等差数列a和b前n项和分别为S和T，则学：nnnnbn5. 等差数列a，若S=
10、S（M丰N），则S=SnMNKM+NK6等差数列a,a0(a,0)，且S=S(M丰N)，若M+N为偶数,则当n=哄上时,n11MN2S最大，若M+N为奇数,则当n=n时,S最大（最小）.n7.等差数列a,公差为d，则S,S-S,S-S也成等差数列且公差为m2d.nm2mm3m2m8.等差数列a,公差为d，则S=S,Snn1nm,nmn9.等差数列a前2n项中：|奇=k，前2n-1项中:nSa偶n+110.等差数列a首项为a，公差为d，前n项和为S，则也为等差数列且首项仍为a11.等比数列a中:nn1nInI1aaaxxa-a2m一1,aaax以a-(aa)m.1232m1m1232mmm,112.a是公比为q的正项等比数列，则loga是公差为logq的等差数列.nmnmn前n项和为T，n数列a厂1、n_1qSSn项和为M，贝Qf=aa；=qn1nT1nMnn14.等比数列a公比为q，则S,SS,SS也成等比数列且公比为qm.nm2mm3m2mTT15. 等比数列a公比为q，前n项连乘积为T，则T，二m，律m也成等比，且公比为qmnnmTTm2m16. a为公差不为零的等差数列，且a,a,a依次成等比数列，则公比为nmkpkm17.等比数列a公比为q，若1”q”1，则S趋近于nn18.等比数列a,S=S+qmSnm,nmn
