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1、质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。 培养学生观察、比较、抽象概括能力。(一)教学质数与合数 教学质数与合数要注意抓住以下四点 1.从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。 要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。 例如： 先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？ 1、2、3、4、5、
2、6、7、819、20 只有1个约数的自然数有1 有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19 有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20 通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。即一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。 通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 2.要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？ “1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。原因是受“一个自然数的约数个数是有限
3、的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数还是1，所以“1”有两个相同的约数。学生这样理解是有一定道理的。这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。 3.自然数的分类 (1)按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。即质数、合数和1三类。 自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的。 (2)按每个自然能否被2整除分类，则把自然数分两类。即奇数和偶数
4、。 自然数是无限的。所以奇数和偶数的个数也是无限的。4.运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数。可以加深学生对质数、合数的理解。 例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？ 19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54 通过检查各数约数的个数，可以知道： 21、87、35、38、72、54是合数 19、43、67、89、97是质数 判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法： (1)如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断； (2)查质数表； (3)用试除的方法。记住20以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数，试除时，看这个数除了1和
5、它本身以外，能否被其他数整除。若能则是合数；若不能则是质数。 为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。如判断237980这个数，它是质数还是合数。（因为这个数个位上是0，因此这个数除了1和它本身外，至少还有一个约数2，所以这个数是合数。） 对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。比如判断91是质数还是合数。可以用917=13，91能被7整除，可以断定91是合数。 (二)教学分解质因数要注意以下三个问题。 2.掌握分解质因数的两种方法 分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。 把一个合数分解质因数有两种方法。 一种是利用乘法口诀分
6、解质因数。 例如：直接把下面各数分解质因数。 21、34、52、28、60、75、90 解答时可以这样想：先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数，就算分解完了；如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。（如课本P59例2）这是分解质因数的最基本方法。 另一种是用短除法分解质因数。 埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个小孔，于是剩下的都是质数。而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数的方法就叫筛法。 怎样用筛法编制100以内的质数表呢？ 在自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数是2，它是质数，
7、把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5，5是质数，把它保留，并且把5的倍数都划掉用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。 请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。 2.质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？ 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因为它只有1和17两个约数。 在乘法中，被乘数和乘数都叫因数。例如：23=6，2和3是6的因数。 6的两个因数2和3，同时又都是质数。因此，我们把2和3又叫做6的质因数。 每一个合数都
8、可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：36=2233 40=2225 其中2、2、3、3是36的质因数；2、2、5是40的质因数。 因数与积相关联，因数不能单独存在。比如2和3是6的因数，而不能说2和3是因数，必须说明是谁的因数。因数可以是质数也可以是合数（如56=30，其中6就是合数），而质因数，要求因数本身还必须是质数。比如30=235，30的三个因数都是质数。所以可以说30的质因数是2、3和5。 3.在分解质因数时，要防止发生以下几种错误。 (1)没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数。如把
9、280分解质因数。 二、学海导航【思维基础】 1.说出什么叫质数？什么叫合数？并判断下面各数哪些是质数，哪些是合数。 3、27、41、6、11、19、69、57、97 一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数） 一个数如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。 质数有：3、41、11、19、97。 合数有：27、6、69、57。 把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数；就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 3.判
10、断下面的说法对吗？正确的画“”，错的画“”。 (1)在自然数中除了质数就是合数。（ ） (2)一个合数至少有3个约数。（ ） (3)3和5是质因数。（ ） 解：(1)（）即不对。因为自然数按约数个数分三类。就是自然数包括质数、合数和1。而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了“1”这一类。 (2)（）即对。因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫合数。这里的“还有别的约数”的意思至少有1个约数。至少这1个约数再加上1和它本身的两个约数就是至少3个约数。因此这种说法是正确的。 (3)（）即错。3和5都是质数。质因数是与积相关联，它不能单独存在。质因数，要求因
11、数本身还必须是质数。比如15=35，3和5都是15的质因数。 【学法指要】 例1. 210=2357，你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数吗？ 分析：凡是能被210整除的数都是210的约数。怎样才能做到找准、找全呢？那就要分类找。一类是显露的约数即2、3、5、7四个约数。另一类是隐含约数。这一类先找全两个因数的积。即（23）（25）、（27）、（35）、（37）、（57）；再找全三个因数的连乘积。即（235）、（237）、（357）、（257）；最后找四个因数的积。即（2357）。这样分类找210除了约数1外，其它15个约数就能找全了。 解：210除约数1外的约数有2、3、
12、5、7、6、10、14、15、21、35、30、42、105、70、210。 例2. 4500的约数共有多少个？ 分析：可以利用积与因数的关系，一对对找出4500所有约数，然后再数出它们共有多少个就行了。但是，因为4500数很大，用这种方法做很麻烦，而且往往会遗漏，借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷 比如，40共有多少个约数，用分解质因数的方法如何求40约数的个数算理与算法。 40=2225，从23来看，40的约数数中存在1、2、22、23四种情况，即1、2、4、8；再从5来看，存在1和5两种情况。若把两者结合起来看，即用1、2、4、8分别去乘1和5，是可得到40的所有8个约数：
13、1、2、4、8、5、10、20、40。仔细观察，不难看出这四种情况的“4”与两种情况的“2”，正好等于40的每个质因数的指数加上“1”，即是：（31）（11）=8。这就是说：一个大于1的整数约数的个数，等于它分解质因数式子中每个因数的指数加“1”和连乘积。掌握了这条规律，再求一个数的约数就容易了。 解：因为4500=2233555=223253 而（21）（21）（31）=36 所以4500的约数共有36个。 例3.一个长体的3个面积分别为S1=20平方厘米，S2=15平方厘米，S3=12平方厘米。求这个长方体的体积是多少立方厘米？ 分析： 根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面
14、中，有三组对面，每组对面的面积分别相等。已知三个面的面积都相等由此可知这三个一定是相邻面，且相交于一个顶点。（如图） 假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，S1=ab=20，S2=ac=15，S3=bc=12，求长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但长、宽、高都没有直接给。但长、宽、高中两两相乘的积我们知道。如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数的积。即abacbc=(abc)2，则abc就是长方体的体积。那么3个面积乘积怎样分成两个相同数相乘呢？就要把这几个相乘的数都分解质因数。 解： 201512 =22535223 =（2253）（2253） =6060 所以abc=60 答：这个长方体的体积是60立方分米。 【思维体操】 1.有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们的年龄乘积是5040。他们的年龄各是多少？ 解：5040=22223357 =（222）（25）（33）7 =78910 答：他们的年龄分别为7岁、8岁、9岁、10岁。 评析：这道题的解题思路是根据题中给出的
