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1、第12讲 空间几何体及其计算考点透析空间几何体柱、锥、台、球及其简单组成体A柱、锥、台、球的表面积和体积A知识整合 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实世界中简单物体的结构，了解柱、锥、台、球的概念2掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积及体积计算公式，能直观感知空间几何体的展开图的形状，并能初步运用于实际问题之中考点自测 1. （2010上海6)已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。2（2010辽宁文科11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于 。3(2010宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点
2、都在一个球面上，则该球的表面积为_4（ 2010全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为_5(2010宁夏18) 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。典型例题 高考热点一：空间几何体的表面积与体积简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用例1 PABCDOE（2010徐州市模拟改编）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，
3、DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积【分析】锥体的体积计算关键是求出底面积与高如何求解菱形面积；如何转化条件PB与平面ABCD所成的角为60？高考热点二：空间图形的折叠旋转、折叠就是把平面图形通过翻折变成立体图形，是“整体识别，操作确认”的具体体现，它是高考常考的热点题型解决这类问题的关健是要正确利用好旋转或折叠前后的两种图形，准确找出其中的变化量和不变量，隐含着一种动手能力或实践能力例2(2010苏州中学模拟题改编)如图，在长方形中，为的中点，为线段(端点除外)上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足
4、设，则的取值范围是 BAKCDFABCDF.E【分析】解决这类问题的关健是要正确利用好折叠前后的两种图形，准确找出其中的变化量和不变量高考热点三：类比平面几何中的一些重要定理、性质、运算公式及特殊点或线的性质，在立体几何中，也有类似的性质成立由平面到空间的类比推理题，不仅能将初中平面几何知识与高中内容有机结合起来， 而且能较好地考查我们的阅读能力、类比推理能力、逻辑思维能力及实现知识的正迁移能力例3(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 【分析】解决这类问题的关键是首先弄清平面中已
5、知命题的由来，然后用同样的方法去探究空间的结论，一般是由平面的点、线、边长、面积类比空间的线、面、面积、体积 误区分析 问题：一个球被两个平行平面所截，截面面积分别为和，且两截面的距离为1，求球的体积试分析下面的解答错在哪里？错解：设两截面圆的半径分别为和，球心O到其中的一个截面的距离为d，则：由球的性质可知 解之得， 所以球的体积为随堂练习 1如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 3一个长方体共顶点的三个面的面积分别是、，这个长方体对角线的长为4有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球
6、与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各顶点，则这三个球的表面积之比为5如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，G和F是l上的两个不同点，且EAED，FBFC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，()证明：直线垂直且平分线段AD：()若EADEAB60，EF2，求多面体ABCDEF的体积6(2010徐州模拟)在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2()求四棱锥PABCD的体积V；()若F为PC的中点，求证PC平面AEF学力测评 1(2010镇江模拟)圆绕直线旋转一周所得的几何体的体积为_2用长、
7、宽分别是3与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积是_3三棱锥PABC中，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是_4(2010南京市模拟)在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是_5已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为_6底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的两条对角线长分别是和，则这个棱柱的侧面积是7(2010常州模拟)一个棱长为cm的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长最大为_cm 8(2010如东县模拟)已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是_9如图，在四边形
8、中，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积 10图一所示为一实心钢锭，它由两部分组成下部为一倒置圆台，上部为一半球圆台上、下底面直径分别为6和4，高也为4；球体半径为3现将此钢锭放入如图二所示的长方体容器中，此容器底面长为8，宽为9已知放入后钢锭没入水中且没有水溢出，求放入后水面上升的高度图一446图二水8911体积相等的正方体、球、等边圆柱(底面直径与母线长相等的圆柱)的表面积分别为S、S、S，试比较S、S、S的大小12养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐，已建的仓库的底面直径为，高，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大(高不变)；二
9、是高度增加 (底面直径不变) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第12讲 空间几何体及其计算参考答案考点自测 1.96.提示：考查棱锥体积公式24。提示：由已知，球的直径为，表面积为3。提示：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，所以球的半径满足：，故4。提示：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.解：过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.5解：(1)因为PH是四棱
10、锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= 典型例题 例1 解：(1)在四棱锥PABCD中，由PO平面ABCD，得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO60在RtAOB中BOABsin301， 由POBO，于是POBOtan60，而底面菱形的面积为
11、2四棱锥PABCD的体积V22例2解：连接，平面平面，而面面，面，设，则；在中，；在四边形中，；在中，；由勾股定理得：，即；解得：；又，例3 解：两个正四面体棱长的比为1：2，则底面积的比为1：4，其高的比为1：2，所以体积比为 1：8 误区分析 正解：(1)当两截面在球心同侧时，同上面的解，此时球的体积为，(2)当两截面在球心的异侧时，如图，则有 得d2由于d21球心不可能在两截面之间，故此种情况不存在综上所述，球的体积为评注：此题解法的错误在于解题不全面，漏解这里只考虑了两截面在球心的同一侧的情况，当两截面在球心的异侧时的情况没有考虑随堂练习 1提示：设圆柱的底面直径为a，则其侧面积，故体
12、积2提示：设圆柱的半径为，则由侧面展开图是一个正方形，得圆柱的高为，从而这个圆柱的全面积与侧面积的比是3提示：设长宽高为a、b、c，则l4提示：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为，从而它们面积之比为5解：(1)由于EAED且点E在线段AD的垂直平分线上，同理点F在线段BC的垂直平分线上又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上所以，直线EF垂直平分线段AD(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分设AD中点为M，在RtMEE中，由于ME1， 又BCFVCBEFVCBEAVEAB
13、C多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF6解：()在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD 则V()PACA，F为PC的中点，AFPC PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPC E为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC AFEFF，PC平面AEF 学力测评 1 提示：过圆的圆心(0，1)，故所得几何体为半径为的球，其体积为2或提示：圆柱的底面半径可以为或34提示：因为，所以PA、PB、PC互相垂直，设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，则ab6，bc4，ac3，三式相乘得，解得abc24，三棱锥的体积abc44提示：正三棱锥对棱互相垂直，即，又SBMN，且， ，从而，
