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1、第三章一元函数积分学一、常见的考试知识点1不定积分(1)原函数与不定积分的概念及关系，不定积分的性质(2)不定积分的基本公式(3)不定积分的第一换元法，第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)(4)不定积分的分部积分法(5)简单有理函数的不定积分2定积分(1)定积分的概念及其几何意义，函数可积的充分条件(2)定积分的基本性质(3)变上限积分的函数，变上限积分求导数的方法(4)牛顿一莱布尼茨公式(5)定积分的换元积分法与分部积分法(6)无穷区间反常积分的概念及其计算方法(7)直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积3试卷内容比例本章内容约占试卷总分的32
2、，共计48分左右二、常用的解题方法与技巧1不定积分(1)原函数已知(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得在该区间上的每一点，都有F (x)=(x)，或dF(x)=(x)dx，则称F(x)是(x)在该区间上的一个原函数如果(x)在某区问上连续，则在这个区间上(x)的原函数F(x)一定存在(2)不定积分的定义(3)不定积分的性质(4)第一类换元积分法(5)分部积分法(6)一些简单有理函数的积分这里所说的简单有理函数，是指如下的分式有理函数：它可以直接写成两个分式之和，或通过分子加、减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，然后再求出其不定积分2定积分
3、(1)定积分的性质设M和m分别是(x)在区间，b上的最大值和最小值，则有(2)变上限积分(3)牛顿一莱布尼茨公式如果(x)是连续函数(x)在区间a，b上的任意一个原函数，则有(4)定积分的换元积分法(5)定积分的分部积分法(6)反常积分(7)计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线y2=(x)，y1=g(x)及两条直线x1=a和x2=b所围成的(其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线，即f(x)g(x)，则其面积A可由下式求出：(8)计算旋转体的体积上面(7)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为三、常见的考试题型与评析(一)不定积分的概念和性质本部分内容1994-2013年共考
4、了19次，考到的概率为95,基本为必考题.1典型试题(1)(0403)ABCD(2)(0505)Acos x B-cosxCcosx+C D-cos x+C(3)(0607)ABx2C2xD2(4)(0706)设(x)的一个原函数为x3，则(x)=( )A3x2BC4x4 D6x(5)(0806)Asin x+x+CB-sinx+x+CCcos x+x+C D-cosx+x+C(6)(0905)ABCD(7)(0917)(8)(1017)(9)(1116)(10)(1206)ABCx+CD(11)(1305)ABCD2解题方法与评析【解析】不定积分的概念和基本性质是高等数学(二)考试中的一个重
5、要题型，是每年试卷中必考的内容之一，希望考生能认真理解并掌握之(1)选D利用不定积分性质(2)选D利用不定积分公式(3)选C利用原函数的定义(x)=(x2)=2x(4)选D利用原函数的定义：(x)=(x3)，则(x)=(x3)=6x(5)选A利用不定积分的性质和不定积分公式(6)选A同题(5)(7)(8)(9)(10)选D(11)选C【评析】不定积分的概念和性质以及基本的积分公式是专升本试卷中每年必考的内容之一，考生一定要牢记!(二)定积分的概念和性质本部分内容1994-2013年共考了19次，考到的概率为95，基本为必考题1典型试题(1)(0618)(2)(0707)A-2B0C2 D4(3
6、)(0717)(4)(0818)(5)(0906)ABCD0(6)(1118)(7)(1218)(8)(1318)2解题方法与评析【解析】这些试题主要考查定积分的概念以及奇、偶函数在对称区间上积分的性质：若(1)(2)(3)(4)填2(5)选D同题(3)(6)(7)填sin 1(8)填0因为x3+3x是奇函数【评析】奇、偶函数在对称区间上的定积分是考试重点题型之一，请考生务必熟练掌握(三)变上限定积分的概念及导数本部分内容19942013年共考了9次，考到的概率为451典型试题(1)A(x)的一个原函数B(x)的全体原函数C(x)的一个原函数D(x)的全体原函数(2)(9509)A一1B0C1
7、 D2(3)(0413)(4)(0507)A0BCD(5)(0817)(6)(1007)ABCD(7)(1117)(8)(1306)AB0CD2(x+1)2解题方法与评析【解析】利用变上限定积分的定义及求导公式进行计算(1)选C根据变上限定积分的定义及原函数存在定理可知选项C正确(2)选C利用洛必达法则及变上限定积分的导数，则有本题也可先求出定积分，然后再用洛必达法则求极限，显然不如直接用洛必达法则快捷(3)填1(4)选C(5)(6)选C(7)填x+arctan x(8)选A(四)凑微分后用积分公式本部分内容1994-2013年共考了14次，考到的概率为701典型试题(1)(0011)(2)(
8、0111)(3)(0213)(4)(0605)ABCD(5)(0823)(6)(0918)(7)(1017)(8)(1217)(9)(1317)2解题方法与评析(1)(2)(3)(4)选C(5)(6)(7)(8)(9)【评析】利用凑微分法化为不定积分公式的试题是每年必考的内容之一，希望考生牢记常用的凑微分法常用的凑微分公式主要有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(五)第一换元积分法(凑微分法)本部分内容19942013年共考了13次，考到的概率为651典型试题(1)(0219)(2)(0523)(3)(0623)(4)(0723)(
9、5)(0921)(6)(1023)(7)(1123)(8)(1223)2解题方法与评析【解析】由于第一类换元积分法实质上是复合函数求导的逆运算，因此，注意到被积表达式的(x)dx中除了复合函数外的哪些函数与dx的乘积可写成某一函数的微分的事实，就得到了凑微分的过程利用所给的凑微分公式就可以得到所给的结果换元的一个基本原则是：将被积函数中的复合函数部分用变量代换的方法换成简单函数再(1)或(2)或(3)或(4)或(5)或或(6)或(7)或(8)【评析】第一换元积分法(凑微分法)是高等数学(二)必考的内容之一,由于凑微分法省略了变量代换的过程，所以更为简捷如果对被积函数中复合函数部分的中间变量(如
10、题(2)的(六)第二换元积分法由于2000-2013年的专升本高等数学(二)试卷中没有出现过第二换元积分法的试题，所以建议考生知道有此解题方法即可(七)分部积分法本部分内容1994-2013年共考了7次，考到的概率为351典型试题(1)(0021)(2)(0224)(3)(0728)(4)(0924)(5)(1224)2解题方法与评析【解析】分部积分的关键是如何将被积表达式写成ud或vdu的形式，因此正确地选取u和是难点如果选取不当，分部积分后的积分会比原积分更不容易求解专升本试卷中常见的分部积分试题的类型主要有：上述三类积分中，u和的选法如下：(1)(2)(3)(4)(5)(八)定积分的计算
11、本部分内容19942013年共考了17次，考到的概率为851典型试题(1)(0124)(2)(0220)(3)(0324)(4)(0423)(5)(0518)(6)(0524)(7)(0624)(8)(0718)(9)(0919)(10)(1024)(11)(1218)(12)(1324)2解题方法与评析【解析】不定积分的第一换元积分法(凑微分法)和分部积分法都适用于定积分，只需在所求的积分中加上积分的上、下限即可在定积分计算中一定要注意：用换元积分法时，积分的上、下限一定要一起换；用凑微分法计算时，积分的上、下限不用换(1)(2)分段函数需分段积分：(3)(4)(5)填1/2(6)(7)(8
12、)(9)填1/2(10)(11)(12)【评析】分部积分的题目在专升本高等数学(二)试卷中属于较难的试题，考生可根据自己对知识的掌握程度作出安排如果被积函数中含有根式，一般情况下应考虑用换元法去根号，再进行积分，如题(1)与题(10)(九)反常积分本部分内容1994-2013年共考了10次，考到的概率为501典型试题(1)(0013)(2)(0112)(3)(0424)(4)(1019)(5)(1219)(6)(1319)2解题方法与评析【解析】反常积分实质上是先计算定积分再取极限，即(1)填/2(2)填1/2(3)(4)填/2(5)填1(6)填1(十)平面图形的面积与旋转体的体积本部分内容1
13、9942013年共考了14次，考到的概率70.1典型试题(1)(0326)已知曲线C为y=2x2及直线L为y=4x求由曲线C与直线L所围成的平面图形的面积S；求曲线C的平行于直线L的切线方程(2)(0527)求曲线y=x2(x0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S；求中的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy(3)(0627)求由曲线y=x，y=1/x，x=2与y=0所围成的平面图形的面积S；求中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(4)(0827)求曲线y=ex及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D的面积S；求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx(5)(0927)求在区间(0，)上的曲线)，=sinx与x轴所围成图形的面积S；求中的平面图形绕
