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1、 数学的发展史 主讲人：王标 一、数学的意义 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。英国科学史家丹皮尔说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史员悠久的人类纫识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。当然，仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。与其他知识学科相比，数学是一门历史性或者说
2、累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的。它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，。可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。如果我们对比天文学的“地心说” 、物理学的“以太说” 、化学的“燃素说”的命运，就可以看清数学发展不同于其他学科的这种特点。因此有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个
3、人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。” 这种说法虽然有些绝对，但却形象地说明了数学这幢大厦的累积特性。当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了解它的历史。按美国数学评论杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。庞加莱(1854一1912)曾经被称为“最后一位数学通才”。对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位，是由数学作为一种文化的特点决定的。它具有：1、数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的
4、知识。2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索中追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。3、最后，数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。英国数学家和哲学家罗素(18721970)说过：“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美 一种冷峻严肃的美”。二、数学的定义 数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”。1、公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学”。2、16世纪英国哲学家培根(15611626)将数学分为“纯粹数学” 与
5、“混合数学”。这里“混合数学”相当于应用数学，而培根所谓的“纯粹数学”则定义为：“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。3、在17世纪，笛卡儿(15961650) 认为：“凡是以研究顺序(order)和度量(measure)为目的的科学都与数学有关”。4、19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关”。根据恩格斯的论述，数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。”5、19世纪晚期，集合论的创始人康托尔(18451918)曾经提出：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、
6、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。这里的“量”，被赋予了丰富的现代涵义：它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式与数量关系(如几何学中的高维空间、无穷维空间；代数学中的群、域；分析中的泛函、算子；等等)。7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于“模式”的科学：“【数学】这个领域己被称作模式的科学，
7、其目的最要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，。这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。三、数学史的划分 一般可以按照如下线索：(1)按时代顺序； (2)按数学对象、方法等本身的质变过程； (3)按数学发展的社会背景。一般数学通史著作往往采取以某一线索为主，同时兼顾其他因素的做法。分期问题的深入讨论属于数学史专门研究的范围，而且存在许多争议。我们一般以数学思想为主，综合参考了各方面的论述，作出
8、如下的分期：1、数学的起源与早期发展(公元前6世纪前)；2、初等数学时期(公元前6世纪一16世纪)：(1)古代希腊数学(公元前6世纪6世纪)，(2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪) ，(3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪) ；3、近代数学时期(变量数学，17世纪18世纪) ；4、现代数学时期(1820年一现在)：(1)现代数学酝酿时期(1820一1870) ，(2)现代数学形成时期(18701940) ，(3)现代数学繁荣时期(当代数学时期，1950现在)。我们重点讲解： 1、古希腊数学史；2、中国古代数学发展史；3、微积分的创立和兴起；4、20世纪纯粹数学的趋势；5、20世纪应用数学
9、的趋势。有时间我们还讲讲6、中国现代数学的开拓。古希腊数学 、论证数学的发端 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。 普洛克鲁斯在评注其他地方再次根据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理： 1.圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2.等腰三角形两底角相等； 3.两相交直线形成的对顶角相等； 4.如果一
10、三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。 希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(约公元前580一前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面的著作。今人对毕拉哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注。今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和“数学”(意为“可学到的知识”)这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。 毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵
11、族制，在希腊民主力量向涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉期本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊波斯战争(公元前492一前449)以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：1、伊利亚学派；2、诡辩学派；3、雅典学院(柏拉图学派)；4、亚里士多德学派。 上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下三个方面。 1、三大几何问题 古希腊三大著名几何问题是： (1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；(2)倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)三等分角，即分任意角为三等分。 希腊人对
12、三大作因问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。 2、无限性概念的早期探索 希腊人在理性数学活动的早期，已经接触到了无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。 3、逻辑演绎结构的倡导 雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉图出身贵族名门，以万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究为主，但柏拉图认为数学是一切学问的基础。柏拉图本人虽末
13、得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持数学知识作演绎整理。 二、黄金时代亚历山大学派 从公元前338年希腊诸邦被马其领控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。 这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城。公元前300年左右，亚历山大兴建艺术宫(博物馆)和图书馆，提倡学术，罗致人才，使亚历山大成为希腊文化的首府，那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。 1、欧几里得与几何原本：“原本”
14、原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。第1卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”；等等。接下来我们一起来看看他的公理和公设。 公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和直径可以画圆；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内
15、角和小于两直角的一侧相交。 公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。 欧几里得原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。 2、阿基米德的数学成就：阿基米德(公元前287一前212)出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城
16、跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存下来。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有： (1)圆的度量；(2)抛物线求积；(3)论螺线；(4)论球和圆柱； (5)论劈锥曲面和旋转椭球； (6)引理集； (7)处理力学问题的方法； (8)论平面图形的平衡或其重心； (9)论浮体； (10)砂粒计数； (11)牛群问题。 阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。（1）在圆的度量中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形而得到圆周率的近似于22/7；（2）在论
