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1、构造法求数列通项对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根 据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法构造法1 阶线性递推(形如an + 二pan + q, p/0 ,其中a】二a型)若p二1,数列an为等差数列;若q二0,数列an为等比数列;(3)若p/1且qH0,数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求方法如下 U jJt Qn-1 TA P(3n + Z),得乐十 1 =左馮 + _ i ”,乂巧亠所以(piy=qt ElfJz=(71),L I o ”例 1在数列an冲， a】二1,an+广2an + 3,求an啲通项公 式解 +广2an + 3，+
2、i + 3二2(an + 3)，又a】 + 3二4,二数列an + 3是首项为4,公比q二2的等比数列， .气 + 3 二牛2n -1二 2n + 1,.an 二 2n + 1-3.变式 若例1中“an+广2an + 3”变成“an +广2an + 3n”，其他 条件不变，求an的通项公式.解Van + 1 = 2an + 3n，.气 + +入3n + 1二 2 +入3n),即 an + 1 - 2an -入3n ,.入二-1 ,即 an + 1 - 3n + 1二 2(an - 3n),又a1-3=-2,.an - 3n是首项为-2，公比q二2的等比数列， .an -3n 二-22n -1-
3、2n ,.an 二 3n - 2n.构造法2二阶线性递推(形如an + 1 pan + qan-1,其中a1 a,a2 = b 型)可以化为 an + 1 - xn 二 x2(an - xlan _ 1)，其中 xl, x2是方程X2 - px -q二0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列an -an-1,若 1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列an.例 2 (1)在数列an中， 二1，a2 二 3,an + 2 = 3an + 1 - 2an，则 an二答案 2n-1解析 an + 2-an + 1 = 2(an + 1-an)，.a2-a广2.an - an -为首
4、项为2，公比也为2的等比数列，an-an-1二2n-1(n1),n1 时,an二(an -an-1) + (an-1- %-2)+ -叩 + *1二2n-1 + 2n-2 + . + 2 + 1二1-2 n1-2二2n-1.显然n二1时满足上式，.a n 二2n-1.已知在数列an 中 a】二5,a2二2,an二2an-1 + 3an-2( nn3), 求这个数列的通项公式解 二2an-1 + 3an-2,an + an-1 = 3(an-1 + an-2)，又a1 + a2 = 7,an + an-J形成首项为7，公比为3的等比数列，则 an + an-1-7x3n-2，又 an-3an-1
5、=-(an-1-3an-2)，a2 - 3a1 =-13,an - 3an - J形成首项为-13，公比为-1的等 比数列，则 an-3an-1 = (-13)(-1)n-2,x3 + 得，4an 二 7x3n-1 +13(-1)n-1 , 74x 3n -1 + 134( - 1)n -1.构造法 3砲如声产P%型倒数为特殊数列芝坷+ J|两边同时取倒数转化为丄=巴丄+匚的形点化妇为乩1=曲+彳型，求出丄的表达式,Qn+1 P % Pg血例3 己知数列為中,_ 3j_n 亠.,求数列岛的通项公式* +2解尸為山勺I 112?即lfl $ I 口”又如=1】则一=1ai为首项*士为公差的等差数列Ou Hl上 忆已蚓在数列%中，2 j t7”_i =打匚N）： 乂_ CJfp解 V=3-Gj十 1Qn是以为首项，3为公比前等比数列.-=3n_12PT
