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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时）教材分析本节内容是必修4第二章第4节的第1课时，平面向量的数量积是继向量的加法，减法，数乘等线性运算之后又一新的运算，也是高中数学的一个重要概念，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用此外它在数学、物理等学科中的广泛应用本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力数量积的概念既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数
2、量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要探讨平面向量数量积的概念、性质及运算律教学目标重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的培养学生思考问题认真严谨的学习态度自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明考试点：考查向
3、量数量积运算；有关向量夹角的计算；应用向量解决垂直问题易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别拓展点：向量在几何中证明垂直的应用教具准备课堂模式多媒体课件、直尺学案导学一、创设情境、引入课题任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？思考：1如右图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为q，那么力F所做的功W是多少？结论：W=Fscosq12功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？【设
4、计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系二、探究新知1平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量abcosq叫做a与b的数量积(innerproduct)（或内积），记作agb，即agb=abcosq，其中q是a与b的夹角特别强调：两个向量a，b的数量积与代数中两个数a,b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a与b的数量积是记作agb，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替，写成ab思考1：对于两个非零向量a与b，其数量积agb是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？结论：agb=abcosq，当
5、cosq0，即0oq0；当cosq=0，即q=90o时，agb=0；当cosq0，即90oq180o时，agb0思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为02投影的定义对于两个非零向量a与b，设其夹角为q，bcosq叫做向量b在a方向上的投影如上图所示，OB=bcosq，即有向线段OB的数量为bcosq11特别强调：向量的投影是一个数量思考1：向量b在a方向上的投影bcosq一定是正数吗？向量a在b方向上的投影是什么？2结论：bcosq不一定是正数，其正负取决于cosq，即q的取值向量a在b方向上的投影是acosq思考2：根据投影的概念，数量积agb=a
6、bcosq的几何意义是什么？结论：数量积agb等于a的长度a与b在a方向上的投影bcosq的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acosq的乘积【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识3平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若ab，则agb等于多少？反之成立吗？结论：abagb=0思考2：当a与b同向时，agb等于什么？当a与b反向时，agb等于什么？特别地，aga等于什么？结论：当a与b同向时，agb=abcos0=ab；当a与b反向时，agb=abcosp=-ab；aga=aac
7、os0=a2，所以a=aga通常aga记作a2思考3：设a与b都是非零向量，如何计算它们的夹角？结论：由agb=abcosq可得cosq=agb，再结合q0,p可求出qab思考4：agb与ab的大小关系如何？为什么？结论：agb=abcosq，因为cosq1，所以agbab【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情4平面向量数量积的运算律发现数量积的运算律教师引导学
8、生回顾实数运算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，然后由学生自主完成下列表格：在实数运算中在向量运算中是否正确交换律ab=ba结合律a(bc)=(ab)c(1)agb=bga(2)a(bgc)=(agb)c(3)(la)gb=l(agb)=aglb)3（）（）（）分配率(a+b)c=ac+bc(4)(a+b)gc=agc+bgc（）消去律ab=bc(b0)a=c(5)agb=bgc(b0)a=c（）【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)对于上述表格，学生在处理的
9、过程中(2)(5)出错率较高，需要老师着重分析：(2)这是因为(agb)c表示一个与c共线的向量，而a(bgc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以a(bgc)=(agb)c一般不成立，即使c与a共线，此式也不一定成立(5)如下图，均满足agb=bgc，但ac明晰数量积的运算律已知向量a、b、c和实数l，则：(1)agb=bga；(2)(la)gb=l(agb)=aglb)；(3)(a+b)gc=agc+bgc证明数量积的运算律学生自主证明(1)(2)，同时对于(2)，注意引导学生反思：当l0时，向量a与la、b与lb的方向的关系，此时向量la与b、lb与a的夹角与向量a与b的夹角
10、相等吗？uuur教师分析证明(3)：如右图，在平面内任取一点O，作OA=a，ruuuruuuruuuAB=b，OC=c，因为a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即a+bcosq=acosq+bcosq，12所以ca+bcosq=cacosq+cbcosq，12(所以cga+b)=cga+cgb，所以(a+b)gc=agc+bgc【设计意图】发现运算律、明晰运算律、证明运算律，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同4=54-时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起三、理解新知1对数量积的理解平面向量的数量积是两个向量之间的运算，它与向量的
11、加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是：数量积的运算结果是数量而不是向量这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关，数量积运算结果的符号取决于向量a与b的夹角2灵活掌握平面向量数量积的性质(1)abagb=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)aga=a2=a2与a=aga可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化(3)cosq=agb不仅可以用来直接计算两向量a、b的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与ab向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围四、运用新知例1已知a=5，b=4，且a与b的夹角q=120o，求agb【设计意图】本例及拓展变式1，2均由学生自主完成，然后教师进行答案的校对其目的是通过计算巩固对数量积定义的理解解：agb=abcosq=54cos120o12=-10拓展变式1：若a=5，b=4，且a/b，则agb是多少？答案：当a与b同向时，agb=ab=20；当a与b反向时，agb=-ab=-20
