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1、A卷北京科技大学2015216学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准一.填空题（每小题分，共15分)1. 设事件和中至少发生一个的概率为,和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为 。2。 从中任取一个数记为，再从中任取一个数记为，则 。3. 设是次独立试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意的， 。4. 设服从区间（）上的均匀分布，是来自该总体的样本,则的矩估计量 .5设是来自正态总体的样本,为总体参数的无偏估计量，则 填空题答案:. 。 。 4. 二选择题(每小题3分,共1分）1.设，则下列结论中正确的是 .（A)事件互不相容(B)事件互逆（C
2、）事件互相独立（D)2设是两个随机变量，则下列命题正确的是 。（A）不相关不相互独立(B)相互独立不相关（C）不相关相互独立（D）相关相互独立3。设是相互独立的随机变量,其分布函数分别为和，则的分布函数是 。(A）(B)（C）(D）4. 设总体,与均未知，是一个样本,则非统计量的是 。（A）（B)（C)（）5。设对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著性水平之下接受零假设，那么在显著性水平下，下列结论成立的是 .（A)必须接受（）可能接受也可能拒绝（)必须拒绝(D)不接受也不拒绝选择题答案:.C 2B 3.B 4.D 5。A三。（本题12分）在次品率为的一批产品中，任意抽取0件产品，其中次
3、品的数量记作.（1)写出的分布律，数学期望及方差；（2）取何值时，概率最大？（3)利用切比雪夫不等式估计次品数在0到0之间的概率;（4）利用中心极限定理计算次品数在40到0 之间的概率.已知,。【解】(）（2分)服从二项分布，。(2分)。（）令,解得（分）。因此，在时单调上升，在时单调下降，因此时最大(2分)。(3)由切比雪夫不等式有(分)。（4)由中心极限定理，(1分)（2分)。四.（本题1分)在某次实验中需要测量某物体的质量。一组测量结果如下（单位:) 6 8.5 .9 8。4 .4 8。7 。8 8。3 88。均值和方差分别记作和.问题：（1）求均值的置信区间，置信度为;()是否可以认为
4、物体的质量是？显著性水平;（）是否可以认为物体的质量？显著性水平。已知数据:;；;；;；。解:构造统计量，则（分）.简单计算得到，。（2分)（)置信度为，则,置信区间为。（2分）(2）作双边检验，(1分）拒绝域为，（1分）本题,因此不接受零假设,不能认为物体的质量是（1分）。（3）作单边检验，(1分)拒绝域为，(1分）本题，因此拒绝原假设,认为物体的质量。（1分）五(本题12分）设总体分布在闭区间（未知)之上,总体的概率密度函数正比于随机变量的值.（1）求总体的概率密度函数；()求未知参数的矩估计量；(3）求未知参数的极大似然估计量。【解答】（）由题设(2分）,因此（1分)，因此，概率密度函数
5、为（1分）。（2）(分）,令（分），解得（分).（)似然函数为，（分）。可见当时,取得最大值,因此极大似然估计量（分）。六(本题12分）设随机向量分布在正方形上,其概率密度函数为,。(）求及概率;(2）求的边缘分布密度函数;（）求条件密度函数；(）与是否独立？为什么？解答：（1)（2分），因此.(2分）（2）。（分)。(2分)（3)（分）（4）不独立，因为（分）.七.（本题4分）设连续型随机变量的分布函数是 ,问:（)各是多少?（2）的概率密度是什么?(3）证明：随机变量服从上的均匀分布。（4）设随机变量，计算。【解】（）由于（1分)，所以，解出得到（1分)。(2）在时,，所以概率密度函数（1
6、分）.在和时，（1分)。(3)当时，因此。当时,因此。（分）。当时，（3分），于是,(1分）。综上，随机变量服从上的均匀分布（1分）。（4）由于，因此,（分），（2分）。八(本题分）将4个红球,8个蓝球,5个绿球随机地排成一行。（1）前五个球为蓝色的概率有多大？（2）前个球中没有蓝色球的概率有多大？（）最后三个球为三种不同颜色的概率有多大？（4)所有红球连在一起的概率有多大?【解】(1)(2)（3）(4）C卷北京科技大学2015-01学年度第一学期概率论与数理统计 试题答案及评分标准一 填空题（本题每小题3分,共15分）1甲乙射击一个目标，甲命中的概率是。6，乙命中的概率是0。7，两人同时各射
7、击一次,目标被命中的概率是 .2。若服从上的均匀分布，那么方程有实根的概率是 .3若二维随机变量在以原点为圆心的单位圆内的概率密度为，其它区域都是0，那么 。4.设是次独立试验中事件出现的次数，为在每次试验中出现的概率，则对任意的，有 。5。若都是参数的无偏估计量,且，这时我们通常称统计量比 。答案:1.088 20。6 3 40 有效二 选择题（本题每小题3分，共15分）1.设事件，则 。（) （B）() （)2.已知是相互独立的随机变量，同分布于标准正态分布。有人作出如下四个论断:（1）服从正态分布，但是不服从正态分布；(2）服从标准正态分布；（3）与是不相关的;（4）与是相互独立的。在这
8、四个断言中，正确断言的个数是 .（）1 (B）2 (C）3 (D）3.设相互独立，且同分布于标准正态分布,下列随机变量中服从分布的是 .(A） （B）（C） (D)。设是来自某总体的一个样本，下面统计量中可以作为总体均值的无偏估计量的是 。（A） (B）（C) （D）设是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，则的分布函数是 .（A） （B）（C） (D）答案：.B 2。B 3D 4.B 三、（本题1分)若,且相互独立，问：(）的相关系数是多少？（2）服从什么分布？其均值、方差分别是多少？这里是常数，。（3）满足什么条件时,随机变量与是独立的？或者说明不可能相互独立?【解答】(1）由于相互独
9、立，因此相关系数是(2分)。（2）应服从正态分布（分），其数学期望是(分),方差是(2分）。(3)由于与都服从正态分布，因此只需要相关系数为零就是相互独立的，这只需要它们的协方差等于零即可（2分)。由于.（1分)因此，当时，与相互独立.(1分)四。（本题12分）若一正方形的边长是随机变量,服从区间上的均匀分布。（）求面积的分布密度；（2）计算概率。【解答】（1）由于正方形面积为，当时,分布函数（3分），分布密度函数(1分）；当时,分布函数,分布密度函数;（1分)当时,分布函数,分布密度函数.（1分)因此，的概率密度函数为。（1分）（）.（+3分）五。(本题12分)设随机变量相互独立，且它们的概
10、率密度函数分别为, ，试求:(）的联合概率密度与联合分布函数；（2)大于1的概率；（)的数学期望与方差。【解答】(）概率密度函数为（1分）,联合分布函数（2分)。（2)（1分)。(1+1分）(3），（1分）,，（1分）。（1分）；由于相互独立，(1分).六。(本题分）罐子中有两只白球，一只黑球,从中随机摸出一只,观察颜色后放回罐中，并同时再放入一只同一颜色的球。问:（1)第二次摸出白球的概率是多少？（2)连续摸出三个白球的概率是多少?（3）若第二次摸出白球，判断第一次更有可能摸出哪种颜色的球？(4）若首次摸出白球时的摸球次数记做，求的分布律以及数学期望。【解答】用分别表示第次摸出白球和黑球。（
11、1)由全概率公式。（11分)（2）由乘法公式.(11分）（3）由贝叶斯公式，(2+分）因此,第一次更有可能摸出的是白球。(4）分布律为,(2分)。（1+2分）七。（本题1分)设总体的概率密度为，.今从总体中抽取10个个件，得到数据如下：10，10，180,1200，1300，20,140，106,1150，1。(1)试分别用矩估计法和极大似然估计法估计参数的值;（2)上述你使用的估计量是否为无偏估计量？为什么？【解答】（）矩估计法，首先计算总体的一阶矩得到(1分)，令样本均值等于一阶矩,得到（1分），因此的矩估计量为。（1分）极大似然估计法，似然函数为（1分），对数似然函数为，令(1分），解得
12、（1分），因此的极大似然估计量为。（1分）又样本均值为116,故此的矩估计值和极大似然估计值都是1168.（1分)（)由于，（2分）因此上述估计都是的无偏估计.(分)八.（本题1分）一批元件，从中随机抽取5只,测得平均寿命为0小时。若已知该种元件寿命服从标准差为小时的正态分布.（1）求这批元件寿命的置信区间,置信度取为；（2)若产品寿命不低于1000小时为合格，为检验这批元件是否合格，需要做什么样的零假设和备择假设？检验结果如何？显著性水平为。已知：。【解答】(1）总体服从正态分布,方差已知为，样本容量为2，置信度为的置信区间是（4分）,代入数据得到。（2分）（2)零假设和备择假设为：（分）。总体服从正态分布,方差已知为，显著性水平为,选择检验统计量(1分)，其拒绝域为(1分），代入数据得到检验值为（1分）.因此拒绝零假设,认为这批元件不合格。(分)文中如有不足，请您指教！ /
