狭义相对论公式及证明

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1、狭义相对论公式及证明单位 符号 单位 符号 坐标： m (x, y, z) 力： N F(f) 时间：s t(T)质量:kg m(M) 位移：m r动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E 加速度：m/sA2 a 冲量：N*s I 长度： m l(L) 动能： J Ek 路程： m s(S) 势能： J Epp角速度：rad/s 力矩：N*m M角加速度:rad/s人2a 功率：W P牛顿力学(预备知识)(一) :质点运动学基本公式：(l)v=dr/dt, r=r0+Jrdt(2)a=dv/dt, v=vO+Jadt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不

2、变时，(1)表示匀速直线运动。 当 a 不变时， (2)表示匀变速直线运动。 只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。(二) ：质点动力学：(1) 牛一：不受力的物体做匀速直线运动。(2) 牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt(3) 牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。(4) 万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：

3、W=jFds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 机械能守恒：只有重力做功时， Ek1+Ep1=Ek2+Ep2k1 p1 k2 p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的 运动规律，即求解运动方程r=r(t)，若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求 之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)狭义相对论力学：(注: Y=l/sqr(l-u2/c2)=u/c, u为惯性系速度。)(一) 基本原理： (1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系

4、无关的常数 (此处先给出公式再给出证明)(二) 洛仑兹坐标变换：X=Y(x-ut)Y=yZ=zT=Y(t-ux/c2)(三) 速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)(x) (x)(x)V( )=v()/(y(1-v( )u/c2)(y)(y)(x)V( )=v( )/(y(1-v( )u/c2)(z)(z)(x)(四) 尺缩效应：L=A1/y或dL=dl/Y(五) 钟慢效应：41=71或dt=dT/y(六) 光的多普勒效应：v(a)=sqr(l-卩)/(1+卩)v(b)(光源与探测器在一条直线上运动。)(七) 动量表达式：P=Mv=ymv,即M=ym.(八) 相对论力学

5、基本方程： F=dP/dt(九) 质能方程： E=Mc2(十)能量动量关系： E2=E02+P2c2 (注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们 是等价的。)三：三维证明：(一) 由实验总结出的公理，无法证明。(二) 洛仑兹变换：设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在 A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯 性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各 点不再等价，因此k不再是

6、常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两 个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut)，对于y, z, Y Z皆与速度无关，可得 Y=y,(3).Z=z(4).将代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即 T=kt+(1-k2)/(ku)x,(5).(1)(3)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系 的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=Y.将Y反代入(5)式

7、得坐标 变换：X=Y(x-ut)Y=yZ=zT=Y(t-ux/c2)(三) 速度变换：V =dX/dT=Y(dx-ut)/(Y(dt-udx/c2)(x)=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)同理可得V( ),V()的表达式。(y) (z)(四) 尺缩效应：B系中有一与x轴平行长1的细杆，则由X=Y(x-ut)得：X=Y(x-uAt)，又 t=0(要同时测量 两端的坐标)，则厶X=yx，即： 1=yL,AL=A1/y(五) 钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=Y(T+Xu/c2),故厶t=Y(AT+AXu/c2),又厶X=0,(要在同

8、地测量)，故t=YT.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时， 是不随坐标变换而变的客观量。)(六) 光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：V(a)=(U+V)/(U-V2)V(b).)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器：两系中分别有两个钟，当两系原点重 合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为v(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是 t(b),(b)(b)由钟慢效应可知,A系中的钟测得的时间为t(a)=Yt(b),(1).探测器开始接收时刻为q+x/c, 最终时刻为t2+(x+vAt(a)/c,则厶)=(1+卩)厶丄2).相对运动不影响

9、光信号的波数，故光源发 出的波数与探测器接收的波数相同，即即v(b) t(b)=v() t(N),(3).由以上三式可得：(b)(b)(a)(N)v(a)=sqr(1-卩)/(1+卩)v(b).(七) 动量表达式：(注：dt=YdT,此时，Y=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系， P=v/c)牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变 换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换 下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中,v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x, y, z)新坐

10、标系中为(X,Y,Z) 只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dT莫属)就可以修正速度的概念了。即令 V=dr/dT=Ydr/dt=Yv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量，即 p=mV=ymv。定义M=ym(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。 ,注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)(八) 相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不 一样。,相对论中质量是变量)(九) 质能方程：Ek=jFdr=J(dp/dt)*dr=Jdp*dr/dt=Jvdp=pv-Jpdv

11、=Mv2-Jmv/sqr(1 -v2/c2)dv=Mv2+mc2 *sqr(1-v2/c2)-mc2=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2=Mc2-mc2即 E=Mc2=Ek+mc2(十)能量动量关系：E=Mc2,p=Mv, Y=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2，可得：E2=E02+p2c2四：四维证明：(一)公理，无法证明。(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。 定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时 空点的dS 一般不为0。dS

12、20称类空间隔，dS20称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论 原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS2dS2 光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得 出一个重要的结论： dS 是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有：(保持y, z轴不动，旋转x和ict轴)X=xcos申+(ict)sin申 icT=-xsin申+(ict)cos申Y=yZ=z当 X=0 时，x=ut，则 O=utcos申+ictsin申得：tan=iu/c,则cosp=Y, sin=iuy/c 反代入上式得：X=Y(x-ut)Y=

13、yZ=zT=Y(t-ux/c2)(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。(七)动量表达式及四维矢量：(注：Y=l/sqr(l-v2/c2)，下式中dt=YdT)令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dT， V=dr/dT称四维速度。则V=(Yv,icY)Yv为三维分量，v为三维速度，icy为第四维分量。(以下同理)四维动量：P=mV=(Ymv, icym)=(Mv, icM)四维力：f=dP/dT=YdP/dt=(YF, yicdM/dt)(F 为三维力) 四维加速度：=/dT=(Y4a,Y4iva/c)贝 If=mdV/dT=m(九)质能方程：fV=mV=m(Y5

14、va+i2Y5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”，(类似于洛伦兹磁场力)由 fV=0 得：y人2mFv+Yic(dM/dt)(icym)=0(F, v 为三维矢量，且 Fv=dEk/dt(功率表达式)k故 dEk /dt=c2dM/dt 即 JdEk =cA2/dM, 即:Ek=Mc2-mc2kkk故 E=Mc2=E +mc2k关于第六条：通过速度变换和质能方程(E=Mc2)可以导出两个坐标系间的能量变换公式(证明很简单, 但很繁琐，就不写了)： E=yE(l-u*v/c2)(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E=yE(l-uv(x)/c2)上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hv代入得：v=yv (1-ucosO/c)(普遍公式)对于0=0可得：v=vsqr(l-卩)/ (1+卩)(特例)利用速度变换和动量关系(p=Mv) 一样可导出两坐标系之间的动量变换公式： p(x)=yp(x)(1-u/v(x)p(y)=p(y)p(z)=p(z) 动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。