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1、12年全国中考数学试题分类解析汇编专题59：新定义和跨学科问题一、选择题1. （2012浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【 】ABCD【答案】 A。【考点】生活中的轴对称现象。【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入球洞。故A。2. （2012福建漳州4分）在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为【 】A BC D【答案】D。【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。【分析】在公式I=中，当电压U一定时，电流
2、I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且R为正数，选项D正确。故选D。3. （2012湖北随州4分）定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是【 】 A.2 B.1 C. 4 D.3【答案】C。【考点】新定义，点的坐标，点到直线的距离。【分析】画出两条相交直线，到l1的距离为2的直线有2条，到l2的距离为3的直线有2条，看所画的这些直线的交点有几个即为所求的点的个数：如图所示，所求的点有4个。故选C。4. （2012湖南长沙3分）某闭合
3、电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【 】A B C D【答案】C。【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，k=32=6。故选C。5. （2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】ABCD【答案】B。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100后水温不会继续增加，而是保持100不变，据此可以得到函数的图象。故
4、选B。6. （2012贵州六盘水3分）定义：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（m，n）例如f（2，3）=（3，2），g（1，4）=（1，4）则g等于【 】A（6，5）B（5，6）C（6，5）D（5，6）【答案】A。【考点】新定义。【分析】根据新定义先求出f（5，6），然后根据g的定义解答即可：根据定义，f（5，6）=（6，5），g=g（6，5）=（6，5）。故选A。7. （2012山东东营3分）根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为【 】AB C D【答案】B。【考点】新定义，求函数值。【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当x=时，在2x
5、4之间，所以将x的值代入对应的函数即可求得y的值：。故选B。8. （2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b，规定ab若2(2x1)1，则x【 】A B C D【答案】A。【考点】新定义，解分式方程。【分析】ab，2(2x1)1，2(2x1)。 。 检验，合适。故选A。9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（x，y），如g（2，3）=（2，3）按照以上变换有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么g（f（6，7）等于【 】A（7，6） B（7，6） C（7
6、，6） D（7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6），g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6）。故选C。10. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】 A B C D【答案】C。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y
7、不变。因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选C。二、填空题1. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 2. （2012福建南平3分）设为一次函数y=ax+b（a0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm2， “关联数”的一次函数是正比例函数，m2=0，解得：m=2。则关于x的方程即为，解得：x=3。检验：
8、把x=3代入最简公分母2（x1）=40，故x=3是原分式方程的解。5. （2012湖北荆州3分）新定义：为一次函数y=ax+b（a0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm2， “关联数”的一次函数是正比例函数，m2=0，解得：m=2。则关于x的方程即为，解得：x=3。检验：把x=3代入最简公分母2（x1）=40，故x=3是原分式方程的解。6. （2012湖南常德3分）规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如： =0，=3。按此规定 的值为 。【答
9、案】4。【考点】新定义，估计无理数的大小。【分析】91016，。7. （2012湖南株洲3分）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）（6，8）= 【答案】64。【考点】新定义，代数式求值。【分析】将（4，5）（6，8）中的数字分别替换（x1，y1）（x2，y2）即可解答：（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，（4，5）（6，8）=46+58=64。8. （2012四川自贡4分）如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD弧DE、弧EF的圆心依次是ABC，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 【答案】4。【考点】新定义，等边三角形的性
10、质，三角形外角定理，弧长的计算。【分析】弧CD是以点A为圆心，AB=1为半径，CAD=1200为圆心角的圆弧，长是；弧DE是以点B为圆心，BD=2为半径，DBE=1200为圆心角的圆弧，长是：；弧EF是以点C为圆心，CE=3为半径，ECF=1200为圆心角的圆弧，长是：。则曲线CDEF的长是：。9. （2012山东菏泽4分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式若，则 【答案】2。【考点】新定义，整式的混合运算，解一元一次方程。【分析】根据定义化简，得：，整理得：，即，解得：。三、解答题1. （2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P
11、1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义： 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为y1y2. 例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为1325，所以点P1与点P2的“非常距离”为25=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 （1）已知点，B为y轴上的一个动点， 若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线上的一个动点， 如图2，点D
12、的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）设C坐标为，如图，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q。 由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q，过点E作EMx轴于
13、点M，作ENy轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OABMEM，OE=1，得OM=，ON=。设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。 （2）解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。 同，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。2. （2012陕西省10分）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）等腰。
