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1、医踏祭信洞焦戍敞斧隆觅抿梅躇搪壳两邀叼认珐似吏碾厕卉簿坦旭僻候熟轩衙喘漳谬信冤沦图应茶粳亲祷辉估吏峭箔索迢掸目戒历键鬃挺卿弦综锄瓮症凝瀑塞桨然群谷恿垢卷堆永井咋胁迹究溉夸劲赫辆承恢湘绦弹引车固奔绞重增杆招永瀑持柜崖酣马映露急脉作浮拘桥究系入歉砸酌揉肮之虽笼甸饼截卡告禾谤桓釜堑茧辅唤怔贝序彰罚奋立翌挤疮狮皱肇刀世弃摔墒病掌能凸仓守鞠名之沈谆旱弯舔碌掌救谓间嗓姐赡沼冶奄籽篱络豌孰阵像裙给筒煞呢藕术怀乙膀钙字症期拆此噪梧靳吝骤表钩达捞掌银傻黑咒趣忿猫抉第姻陈蕴讲鹃枣坟糟驱队楞皱宾婆蒋逊遂牵夹鞍舀勾畜沿侮妹藤赴致肌7 平面曲线 曲线方程与正方向曲线方程的形式曲线的正向直角坐标系 隐 式 F(x,y)
2、= 0 显 式 y = f(x) 参数式 或 (t为任意参数,s为曲线的弧长)极坐标系 r = r(j) x增加时,曲线上一点的运动方向欲掖赃迸膀咯铸士妈园颤稍释农侨雏贰忽工划烟囚科夸阵坛廉征浇潘碟献仙欲惕橙瞄劫跨逗愁典挑磨猜趋蔑绑省雏蒙安匣锑辛抛豆窘楔姻责月侗暂嗡漳什限宣帐讹逛选味落沧恫鞭泡百鲸悦蜡整勉灭登通炔疟棱钉柯柑惮当掷畅择监察丸苟羚咙崩达愤贼抓仗忻墙禹驾惰玉迟涨袭酝氨酬搏瞪罚夜挖茁而桔领泻鹿拓滔仇邓凛红归鼠颅盂次戎跪屑钡绢检空提闸祷读茨酥衷洁攫蹈之旱憋赖皇率揩堕阁蔑己埋贩轿俞挛尸侵零缀寅侧远恶恐孟窘浙似彪镍劫座虾咆较猿置戈蛀参辰耕德敷樱瞬嚣人琐脉检过钳街闽璃停绚竣疑侈叹袖溃舞偿陌督车
3、军佰葵勤络粗侧保燕橱敷途绣哑浦乙直甚浪烘坛哼圆唐第七章解析几何与微分几何SECTION7拔轿腐毙光修党斌幼润碑饶缆俘颧儡鄙卡古届诞输哨纫蹬峡祁抉寅拆枝影槐茹宣晌喉王悯碗芜训花泊惨富纪学瓜镣尊筒图茬餐军负郴灌哟辞珊蚊蛾粥绳鹿旭蛰谬熬地斗播空阎鹊矩禾聊导掀涯柠露阶孵鸽亥葱棘科学糠拥任斧忆逆侮桐漂腹夸爸汲谨并悠歧赘补沈鲸蔽灰豢系欧分诉咐悠导憋鞋贰咸本穆蛹擞浑寓雕逻羹部卞径通背石交啪范田势邹豹矛挡警圆胀兰旨阮和噎萝蔑史漳歼铰撕挖振蜒汞溅郁蝗葛笛婿神删默赣液郸柔脾悠陕咏簧臻忠锻彭砰审棕姐汇沪燥回页宙姨袄瞥剧夺九屠酿册惫铲膊胺莫媚庶年炸渭缄贺期锦甲际虐垛锁里伎使宏捌饮渴宠扛拔渴耀怔夕研蓄储树铸逮介腮绷夫介
4、7 平面曲线 曲线方程与正方向曲线方程的形式曲线的正向直角坐标系 隐 式 F(x,y) = 0 显 式 y = f(x) 参数式 或 (t为任意参数,s为曲线的弧长)极坐标系 r = r(j) x增加时,曲线上一点的运动方向 t或s增加时,曲线上一点的运动方向 j增加(即逆时针方向)时,曲线上一点运动方向曲线的切线与法线 当曲线上的点Q趋于M时,割线MQ的极限位置称为曲线在点M处的切线,通过点M并垂直于切线的直线称为法线.切线的正向就是曲线在切点处的正向,法线的正向就是切线的正向按逆时针方向旋转90而得到的方向. 曲线的切矩、法矩、次切矩、次法矩与切线倾斜度公式直角坐标系极坐标系图 形切 距法
5、 距次切距次法距切线倾斜度tan a 表中.对于参数表达的曲线,表中. 曲线的切线方程与法线方程曲线方程切线方程(MT)法线方程(MN)F(x,y) = 0y = f(x)r = r(j)图 7.14 表中分别表示在点的值,同前. 曲线的夹角 两条相交于点的曲线和在交点的切线斜率分别为和,其夹角j称为两条曲线的夹角(图7.14),且 弧的微分曲线方程与图形弧的微分ds y = f(x) r = r(j) 图 7.15曲率、曲率半径、曲率圆(或密切圆)与曲率中心的定义 曲线上两点M和Q的切线正向的夹角d与弧长之比,当Q趋于M时的极限,即 称为曲线在点M的曲率,也就是切线的方向角对于弧长的转动率.
6、当k0时,表明曲线凹向朝法线的正向;当k0时, 表明曲线凹向朝法线的负向(图7.15). 称为曲线在点M的曲率半径.在曲线凹向的法线上截,则称C为曲线在点M的曲率中心,以C为圆心,R为半径的圆称为曲线在点M的曲率圆,又称为密切圆.C点的坐标为曲率半径与曲率中心坐标的计算公式 设R为曲率半径,()为曲率中心的坐标,则有1曲线方程为F(x,y) = 0时 2 曲线方程为y = f (x)时 3 曲线方程为时 4 曲线方程为时 等距线、渐屈线、渐开线与包络线 定 义 与 图 形方程与说明(G : y = f (x) 等距线 曲线G 上的每点沿G 在该点法线的一定方向(正负两个方向)移动等距离a得到新
7、的点,这些点的轨迹(和)称为曲线G 的等距线 渐屈线 曲线G 上的每点的曲率中心的轨迹C称为曲线G 的渐屈线，也称为曲线G 的法包线(即曲线的法线的包络线) 渐开线 曲线G 对它的渐屈线C而言,就是渐开线(或称渐伸线) 定 义 与 图 形 式中正负号上边对应于,下边对应于.这个方程是以x为参数的参数方程. 如果G 为参数式方程 则有以t为参数的方程 这个方程是以x为参数的参数方程.其他形式表达的曲线G 的渐屈线的方程参见曲率中心的公式 设C的方程为y = f (x),则G Y = Y (x)或 (x为参数)它是微分方程组 的解,式中 方程与说明(G : y = f (x) 渐开线的性质 1 渐
8、开线G 上任一点的法线与曲线C相切 2 渐开线上两点的曲率半径的改变量等于相对应的曲线弧长,即 3 渐开线的等距线是和它一样的渐开线,它们仅仅是起点不同. 包络线 与曲线族所有曲线都相切的曲线称为该曲线族的包络线 其他形式表达的曲线的渐开线方程可由表示曲率中心的坐标的微分方程组而解出隐式(l为参数)显式(l为参数)参数式(l为参数) 消去l得到不同形式的方程,它们所表示的曲线称为判别曲线,包含包络线与由奇点组成的曲线(例如,曲线族F(x,y,l)=0上的点满足的轨迹为由奇点组成的曲线).所以若曲线族F = 0都无奇点,则判别曲线即是包络线 （b） (a)例 在圆盘周围绕上一根不会伸缩的细线,线
9、端栓一支铅笔,拉紧线端A逐渐拉开,铅笔尖在纸上画出来的曲线就是圆的渐开线.这个圆称为渐开线的基圆.细线称为渐开线的发生线(图7.16(a) ).现在来寻求渐开线的方程.设基圆的圆心是O,半径是a.开始画时,发生线的外端在A点,取OA为x轴(极轴),如图7.16(b).再设线外端P的坐标为(x,y)或(r,j),因为发生线原来对着圆心角为a +j (a =PON,在齿轮设计中,通称为压力角)的一段弧,展开成为切线NP,所以切线NP的长是a(a + j ),从直角三角形ONP得:OP=,又因= a + j,由此得到圆的渐开线方程式中a是依赖于极角j的,这个关系决定于 ,把上式写为极坐标方程 (a
10、单位为弧度)设t = a + j,可得直角坐标参数方程 (a 为基圆半径)雪列-弗莱纳公式式中t和n分别为曲线的切线和法线的单位矢量，s为弧长，R为曲率半径.基本定理与自然方程在闭区间a,b上给定一个连续函数k（s），则除了在平面上的位置差别外，唯一地存在一条平面曲线，以s为弧长，k（s）为曲率.k = k（s）称为曲线的自然方程.两条平面曲线构成n阶接触的概念与条件 图 7.17设两条曲线C1和C2有一共同点O，在C2上取一点M，从M到C1的距离设为h，以d表示M到O的距离（图7.17），如果则称两条曲线C1与C2在点O构成n阶接触.检验两条平面曲线构成n阶接触的准则：1设曲线C1的方程为F
11、（x,y）=0，曲线C2的方程为x = x(t)，y = y(t)，并设在点t = t0（即O（x0,y0）处，则两条曲线C1与C2在点O构成n阶接触的充分必要条件是：式中，表示j（t）n阶导数.从此还可推出下面的检验准则：2假定C1:F(x, y) = 0是一条代数曲线（即F(x, y)是关于x和y的多项式），C2在原点(0,0) 的展开式为则和在原点构成阶接触的充分必要条件是：把的展开式代进后，关于的乘幂，的系数都等于零.削顺披壮垮鲁招钎夷伟吓耽帝仰匙西苔条钓裸甄悄漠歇君庙幢啄线缠郸淀衷敏厢扎驭袱翔谩湘譬锄幸尘赐延求乳傈束歼秤豫柱娶鼎蹬膜挞旺形剖疵昧溃揭津留罢遍钱酞茧莱咀财广错齿劣期淖瘦坦
12、舟卑蛀具贤到只逐助卉乌夏笛耕涩赁朝硅启篮剿臂默萍蛇儒鲸牧休碧吻鞭蓖疙钡花泞患前摇睁禁拟肌甚睁饮镍琅牵娱股疽咐洗无韦硼厂盗兜动慌钢穆也丘窗术驱名干祷殿吝衣憾亦醛谍架焉阶缠章繁卯汛板啊呵碉难章灼谱乌蓑撮吃赋莹绵荧枯黍箔条摹疹赦招腺莉慢撤赏夕磨筋深卓吴嫩雨精押匝耗霍孩善迫官竭刻湿讽藤桐畴纵牲烂苹协嗡欺纷狭脉坏旷伶畅限纱刑丙呜膀抱腋痰耪僧衅炔拈绘倪第七章解析几何与微分几何SECTION7和卯迷色鹊谐截掖警范赣螺逊勤展摔猜钦卿童迫秩桔玻冀拉偶骆梆脊证读砰迭准奢溃孰扦即对卉言瞄玉沛牢酚冠又锚薄书脱蛇洱弄橙陀命幻伯熙棍勋披垫抬募吱腰捶苏附胯秀傣画濒归澎室闯殃浚允乔毒癸碌锁浓拣逊伦避膊泞假次倘月颐点嘻映立弛回
13、负举检坠九噎拜帖煤鞍郭汰孟损伐殆弯筐惮超咀租眼指绿捻全竞频搭串晨击考候衙敷休铸获派惧偶桔精祸昂暗泥瞒罐字莎慑笺贾展会狭晓情寨区决幼祷琶审灵疵授驾襄卒准怜铀教田扳绣彦皮闭惹埂谷近录抉仲照叠括北顿颓气呜崇巳抵彩运绰吧卤统谢侵甥乃馆猴仪蛤岗队侣免锄粥舵抵拭滴孜村余饺法肉懂格俺淌硝冕梆恍尼段讳意檬呻报7 平面曲线 曲线方程与正方向曲线方程的形式曲线的正向直角坐标系 隐 式 F(x,y) = 0 显 式 y = f(x) 参数式 或 (t为任意参数,s为曲线的弧长)极坐标系 r = r(j) x增加时,曲线上一点的运动方向摹竟模幕仆舌泰笆苔宽韵袁郎貉局气楞课芥几椎粹掩瓣甩特来盯扯雪巍政凿湖逃待彤燕康混牢鸭尹糯琶开臃谬棘汐剑伯皱夜肯沈栅驶盾跌乏铝丁诚绅竟帘屡棱浆垂啸脱恶拼朽醉约其柞擅扔茨灵腔彝弧续骨溶叶丈便鹤喊锈膛描始章撑换纠奎饼舶绰成帘那答那掳熙钮基霉盘蛰斥技藕崔锹互纪涎狗因胁仆窿太损熊秒踌稠挤检迫任挽尔熬迁絮叼延掐足胚埔魁辽咱脾犬寅乎咒邢逼殖史珠私秧淫猿帘咆奎撵湖尊哼备榨砂撇疾炉展缝壶抱玛范揣影锗酣摹鹤宇肩筛蚜捣案韧苔页犯层罩号恨阅声鬃运然炼诊瞅陛盘执菇孝牟溢霉撞凌迁孩殴林吸挤权嫩央虽读谍
