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1、实验报告课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：_实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换装 订 线一、实验目的1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。1.3 会用Matlab软件进行以上练习。二、实验原理2.1关于DFT的相关知识序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为，如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,.,N-1，则x(n)的DTFT表示为，x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式
2、为，序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间0,2上的N点灯间隔采样，采样间隔为2/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值X(k)。X(k)的幅度谱为，其中下标R和I分别表示取实部、虚部的运算。X(k)的相位谱为。离散傅里叶反变换（IDFT）定义为。 2.2关于FFT的相关知识快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法，并不是一个新的映射。FFT利用了函数的周期性和对称性以及一些特殊值来减少DFT的运算量，可使DFT的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处理的速度大大提高。若信号是连续信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离
3、散信号，然后就可以用FFT来对连续信号进行谱分析。为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器，且抗混叠滤波器的截止频率不得高于与采样频率的一半。 比较DFT和IDFT的定义，两者的区别仅在于指数因子的指数部分的符号差异和幅度尺度变换，因此可用FFT算法来计算IDFT。三、 实验内容与相关分析（共6道）说明：为了便于老师查看，现将各题的内容写在这里题目按照3.1、3.2、.、3.6排列。每道题包含如下内容：题干、解答（思路、M文件源代码、命令窗口中的运行及其结果）、分析。其中“命令窗口中的运行及其结果”按照小题顺序排列，各小题包含命令与结果（图形或者序列）。3.1 求有限长离散时
4、间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）X(ej)并绘图。（1） 已知；（2）已知。【解答】思路：这是DTFT的变换，按照定义编写DTFT的M文件即可。考虑到自变量是连续的，为了方便计算机计算，计算时只取三个周期-2,4中均匀的1000个点用于绘图。理论计算的各序列DTFT表达式，请见本题的分析。M文件源代码（我的Matlab源文件不支持中文注释，抱歉）：function DTFT(n1,n2,x)%This is a DTFT function for my experiment of Signal Processing & Analysis.w=0:2*pi/1000:2*pi;%D
5、efine the bracket of omega for plotting.X=zeros(size(w);%Define the initial values of X.for i=n1:n2 X=X+x(i-n1+1)*exp(-1)*j*w*i);%It is the definition of DTFT.endAmp=abs(X);%Acquire the amplification.Phs=angle(X);%Acquire the phase angle (radian).subplot(1,2,1);plot(w,Amp,r); xlabel(Omega);ylabel(Am
6、plification);hold on;%Plot amplification on the left.subplot(1,2,2);plot(w,Phs,b);xlabel(Omega);ylabel(Phase Angle (radian);hold off;%Plot phase angle on the right.end命令窗口中的运行及其结果（理论计算的各序列DTFT表达式，请见本题的分析）：第（1）小题 n=(-2:2); x=1.n;DTFT(-2,2,x);图3.1.1在-2,4范围内3个周期的幅度谱和相位谱（弧度制）第（2）小题 n=(0:10); x=2.n; DTFT
7、(0,10,x);图3.1.2在-2,4范围内3个周期的幅度谱和相位谱（弧度制）【分析】对于第（1）小题，由于序列x(n)只在有限区间（-2，-1，-，1，2）上为1，所以是离散非周期的信号。它的幅度频谱相应地应该是周期连续信号。事实上，我们可计算出它的表达式：，可见幅度频谱拥有主极大和次极大，两个主极大间有|5-1|=4个极小，即有3个次级大。而对于它的相位频谱，则是周期性地在-、0、之间震荡。对于第（2）小题，由于是离散非周期的信号。它的幅度频谱相应地应该是周期连续信号。而它的表达式：，因此主极大之间只有|0-1|=1个极小，不存在次级大。而对于它的相位频谱，则是在一个长为2的周期内有|1
8、1-1|=10次振荡。而由DTFT的定义可知，频谱都是以2为周期向两边无限延伸的。由于DTFT是连续谱，对于计算机处理来说特别困难，因此我们才需要离散信号的频谱也离散，由此构造出DFT（以及为加速计算DFT的FFT）。3.2已知有限长序列x(n)=8,7,9,5,1,7,9,5,试分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X(k)的幅度、相位图。【解答】思路：按照定义编写M文件即可。M文件源代码：i) DFT函数：function DFT(N,x)%This is a DFT function for my experiment of Signal Processing & Analysis.k
9、=(0:N-1);%Define variable k for DFT.X=zeros(size(k);%Define the initial valves of X.for i=0:N-1 X=X+x(i+1)*exp(-1)*j*2*k*pi/N*i);%It is the definition of DFT.endAmp=abs(X);%Acquire the amplification.Phs=angle(X);%Acquire the phase angle (radian).subplot(1,2,1);stem(k,Amp,.,MarkerSize,18); xlabel(k);
10、ylabel(Amplification);hold on;%Plot amplification on the left.subplot(1,2,2);stem(k,Phs,*);xlabel(k);ylabel(Phase Angle (radian);hold off;%Plot phase angle on the right.endii) 基2-FFT函数function myFFT(N,x)%This is a base-2 FFT function.lov=(0:N-1);j1=0;for i=1:N %indexed addressing if ij1+1 temp=x(j1+
11、1); x(j1+1)=x(i); x(i)=temp; end k=N/2; while k1 digit=digit+1; k=k/2;endn=N/2;% Now we start the butterfly-shaped process.for mu=1:digit dif=2(mu-1);%Differnce between the indexes of the target variables. idx=1; for i=1:n idx1=idx; idx2=1; for j1=1:N/(2*n) r=(idx2-1)*2(digit-mu); wn=exp(j*(-2)*pi*r
12、/N);%It is the circulating coefficients. temp=x(idx); x(idx)=temp+x(idx+dif)*wn; x(idx+dif)=temp-x(idx+dif)*wn; idx=idx+1; idx2=idx2+1; end idx=idx1+2*dif; end n=n/2;endAmp=abs(x);%Acquire the amplification.Phs=angle(x);%Acquire the phase angle (radian).subplot(1,2,1);stem(lov,Amp,.,MarkerSize,18);x
13、label(FFT k);ylabel(FFT Amplification);hold on;%Plot the amplification.subplot(1,2,2);stem(lov,Phs,*);xlabel(FFT k);ylabel(FFT Phase Angle (radian);hold off;end命令窗口中的运行及其结果：DFT： x=8,7,9,5,1,7,9,5; DFT(8,x);图3.2.1 DFT的幅度谱和相位谱（弧度制）FFT： x=8,7,9,5,1,7,9,5; myFFT(8,x);图3.2.2 FFT算法的幅度谱和相位谱（弧度制）图3.2.1 DFT的
14、幅度谱和相位谱（相位是弧度制的）【分析】DFT是离散信号、离散频谱之间的映射。在这里我们可以看到序列的频谱也被离散化。事实上，我们可以循着DFT构造的方法验证这个频谱：首先，将序列做N=8周期延拓，成为离散周期信号。然后利用DFS计算得到延拓后的频谱：，从而取DFS的主值区间得到DFT，与图一致。因此计算正确。而对于FFT，我们可以看到它给出和DFT一样的结果，说明了FFT算法就是DFT的一个等价形式。不过，由于序列不够长，FFT在计算速度上的优越性尚未凸显。3.3已知连续时间信号x(t)=3cos8t, X()=，该信号从t=0开始以采样周期Ts=0.1 s进行采样得到序列x(n)，试选择合适的采样点数，分别采用DFT和 F
