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1、本资料来源于七彩教育网http:/10.3平面的基本性质 空间两直线的位置关系【知识网络】 1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。【典型例题】例1：（1）在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于点P，那么 （ ）A. B. C. D
2、. 答案:A。解析:面ABC，又面ACD，由公理2知，面ABC面ACD。（2）在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则OP与AM所成角为 （ ）A、 B、 C、 D、答案：D。解析：取AD中点Q，在正方形ADD1A1中，A1QAM，从而易证AM面A1B1OQ，又OP面A1B1OQ，AMOP。（3）异面直线成80角，P为之外的一个定点，若过P有且仅有两条直线与所成的角相等（都等于），则 （ ）A、 B、C、 D、答案:B.解析：当时这样的直线不存在，当=40时仅有一条，当=50时有三条，当时有四和。（4）正方体的12条面对角线所在的直线中，互相
3、异面的直线共有 对。答案：30。解析：面对角线中，与AC相交的有5条，平行的有1条，（自身为1条）故与AC异面的直线有12-5-1-1=5（条），则共有125=30（对）。（5）空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB、CD的中点，EF=，则AD、BC所成的角为 。答案：。解析：异面直线所成角的范围。 例2：已知直线ab，ca=A，cb=B.求证：a、b、c在同一平面内.证明：ab 经过a、b可确定一个平面 ca=A，Aa，而a A，同理B 则AB，即c a、b、c在同一平面内.。例3：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?答案：假设AC
4、、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。例4：如图所示，已知，ABCD为矩形，P，PAAD，且PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求异面直线PA与MN所成角的大小。答案：解：如图，连结PD，PAAD，且PA=AD，RtPAD为等腰直角三角形。取PD的中点E，连结NE、AE，NE 又AM NE AM，即四边形ENMA为平行四边形。AE/MN。于是PAE是异面直线PA与MN所成的角。PAD为等腰直角三角形，AE为斜边PD上的中线，PAE=45，即PA与MN所成角的大小为45。 【课内练习】1下
5、列推理中，错误的个数为 （ ）； ； 且A、B、C不共线与重合。A、0个 B、1个 C、2个 D、3个答案：B。解析：正确。 2垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 （ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能答案：D。3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 （ ）A、30 B、45 C、60 D、90答案：D。解析：A1E/B1G，易求B1G F=90。4判断下列命题的真假:(1) 如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点；(2) 过一条直线的平面有无数多个；(3)
6、 两个平面的交线可能是一条线段；(4) 两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；(5) 经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6) 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）。答案：(2)和(6)。解析：(2)和(6)为真命题,其余皆为假命题。5如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 对。答案：24对。解析：每条侧棱对应于底面的4条棱成异面直线，故有64=24对。6在正方体AC1中，表面的对角线与AD1成60角的有_条。答案：8。7若角与的两边分别平行，则时，。答案：。解析：由等
7、角定理及其推论知。8空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且ADBC，对角线BD=，求异面直线AC与BD所成的角。答案：解：如图分别取AB、BD、CD、DA的中点E、F、G、H，连结EF、FG、GH、HE，EF ，FG ，GH HE ，EFG为异面直线AD与BC所成的角，EFG=90，GHE为AC与BD所成角，EG=1，异面直线AC与BD所成的角为909在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.答案：过P作C1D1的平行线EF，连DE、CF即可。10已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。.答案：A、B、C
8、是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又,P既在内又在内, 同理可证 P、Q、R三点共线.。【作业本】A组1若A表示点，表示直线，、表示平面，则下列各项中，表述错误的是（ ）A、 ，AA B、 ，AAC、A，A，=A D、答案：B。解析：由公理一知。2两条直线异面是两条直线不平行的 （ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件答案：A。解析：两条直线不平行包括平行与异面。3异面直线成60角，直线，则直线与所成的角的范围是 （ ）A、30，90 B、30，60 C、60，90 D、30，120答案：A。4在正方体ABCD-ABCD中,与棱AA异面的直线
9、共有_条。答案：4。5在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，FBC，GCD，且CF：CB=CG：CD=2：3，那么四边形EFGH是_，若BD=6cm，四边形EFGH的面积为28cm2,则EH与FG间的距离为_。答案：梯形；8cm。解析：由已知，但EHFG，四边形EFGH是梯形，由梯形面积公式知。 6画出满足下列条件的图形.(1)=1，a，b，ab=A (2)=a，b，ba答案： 7如图，在正方体ABCD中，E、F分别是棱、的中点，求证：EFBD，且答案：连结 ， 四边形是平面图形，又， 四边形是平行四边形， BD，在中， E、F分别是与的中点， EF，由公理4有EFBD，且有。
10、8已知空间四边形ABCD中，各边长均为，且对角线AD=BC=，如图所示，E、F分别为AD、BC的中点，连结AF、CE，求异面直线AF与CE所成的角。答案：解：连结FD，取FD的中点O，连结EO、OC，E、O分别为AD、FD的中点，EO/AF，则CEO或其补角即为所求的角。在CEO中，CE=，AF与CE所成角为。B组1分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( )A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面答案：D.2空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是 （ ）A、四点中必有三点共线 B、四点中必有三点不共线C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行
11、D、直线AB与CD必相交答案：B。解析：选项B是一个存在性命题，反设“四点中任意三点共线”，则四点共线与已知矛盾。3由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为 （ ）A B C D 答案：B。解析：由题意知直线只有条，其中是异面直线的共有对。（因为不共面四点构成三棱锥，其中有3对异面直线故所求概率为。4在正方体ABCDA1B1C1D1中， M、N分别为棱AB、BC的中点，试判断截面MNC1A1的形状_。答案：截面MNC1A1是等腰梯形。解析：连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，所以MN/AC，MNAC又是梯形，易证是等腰梯形。5设，是空间的三条直线，下面给出四个命题：若，则；若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；若和相交，和相交，则和也相交；若和共面，和共面，则和也共面其中真命题的个数是_个答案：0。6如图，O是平面ABC外一点，、分别在线段OA、OB、OC上，且满足， 求证：ABC答案： ， .在AOB中，由， AB，同理BC， 与ABC方向相同， ABC，同理BAC， ABC。7如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点（）证明；（）求与所成的角。答案：（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD面DC1 又DF1DC1，所以ADD1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG，
