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1、. . . . 无线信道条件下的基于小波包变换的OFDM系统摘要这篇文章的主要目的是通过用一些正交小波代替OFDM系统中的复指数载波来改善抗干扰能力。这些小波函数来源于Haar和Daubechies正交镜像滤波器组(QMF)。相对于传统的OFDM系统，本文研究发现Haar和Daubechies正交小波函数能够降低通过多径无线信道时由于载波间正交性降低而引起的符号间干扰(ISI)和载波间干扰(ICI)。关键词：小波包；OFDM；ICI；ISI1. 引言小波理论是由Meyer、Malla和Daubechies等奠基，在二十世纪八十年代兴起，九十年代才进入全面应用的新兴理论。它是傅立叶分析划时代的发
2、展结果，是继傅立叶变换后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因而有“数学显微镜”的美誉。利用小波进行的时-频分析、多分辨分析具有很好的效果，使得小波在信号处理（特别是图像信号处理）得以广泛的应用。而小波函数提供的一系列正交基，非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。第三代移动通信系统为实现大容量、高速率，适用于各种环境的多媒体业务必然采用宽带高速率信号传输，但多径干扰、频率选择性衰落与符号间干扰
3、ISI成为传输宽带高速信号的主要障碍，采用多载波调制（Multi-Carrier Modulation）可以解决上述问题。多载波技术的基本原理是将高速串行数据经过串、并变换后，并行的分配到各个相互正交的子载波上，如果把正交变换基函数作为子载波，则调制/解调实际上是正交基的反/正变换。多载波系统的发射信号可由以下的通用公式表示，即式中N是子载波的个数；是输入序列；是子载波基函数。应该注意的是，不同基函数的选择就代表不同的多载波技术：当是正弦或余弦函数时，这个系统是传统的OFDM。当是小波包基函数时，这个系统是基于小波包的多载波系统。2. 正交小波函数的结构首先介绍一下db4小波的特点。图1 db
4、4小波的尺度函数与母小波函数图2 db4小波包函数的波形与自相关函数波形图3 db4小波包函数的互相关函数波形由db4小波包函数的自相关函数图可以看出，假设小波包函数的时域长度为7个单位，那么小波包函数仅在前2/7时长有起伏，其余时间为0。而在1/7、2/7点处均近似为0，在MATLAB6.5中db4小波包函数为一个的向量，因此可以令(取整)。下表为db4小波包函数的自相关与互相关函数在处的函数值。表1 db4小波包函数的积表0.0492560.000196726.9826e-0063.9601e-0060.00011862.2846e-0072.6701e-0084.2819e-0054.1
5、93e-0065.2899e-0072.4705e-0085.3504e-0113.864e-0097.7006e-0105.335e-0111.3094e-013正交小波可以被如下两个方程描述：其中，k-j是非负整数，且M是子载波的个数。g(n)和h(n)分别为完全重构正交镜像滤波器组(QMF)的低通滤波器和高通滤波器系数，它们被用来构成正交小波，来自正交镜像滤波器组的树结构。高通滤波器可通过如下关系由低通滤波器生成：，L是数据序列的长度。小波函数的正交性通过表现出来，其中代表积，是狄拉克函数且为正整数，将在下面讲到。图4 小波包树型分解结构3. 系统模型OFDM是基于DFT的，它的正交性只
6、体现在频域上。而小波变换将信号在时间和频率两个域上进行分解，其中j和k分别为尺度（频率）参量和时间参量。参考OFDM的调制方式，小波则亦可用于多载波调制，其中可看作调制的数字信号，各子载波不但在频域上正交，在时间域上也具有正交性。 以此为出发点，借助小波理论中存在的丰富的正交性，可以将小波多载波调制进一步推广。小波包变换与反变换又称小波包分解和综合。利用小波包的分解和综合，可将高分辨率的信号分解为低分辨率的逼近信号与细节信号，反之也可以根据逼近信号与细节信号恢复出信号。由多分辨分析理论（MRA），二进离散小波变换中的尺度函数和小波函数满足：其中、是滤波器组中低通和高通滤波器的离散冲激响应：N是
7、冲激响应序列的长度。为了改善小波对时频局部化的性能，定义了类似上述公式的递归函数序列：这里，称为小波包。小波包具有两条基本的性质：第一性质：平移正交性；第二性质：相邻正交性；每个小波包函数具有非零平移正交性，该性质可用来消除ISI；小波包函数的相邻正交性可用来抑制ICI。基于小波的多载波系统分为3类，分别是基于多尺度调制（MSM）、M频带小波调制（MWM）、小波包调制（WPM）的多载波技术。MSM和MWM是由W.W.Jones最早提出来的，基于MSM的多载波技术是将标准的小波基作为子载波的基函数，实现中首先进行标准的小波反变换来构造信号，这与传统的OFDM是一致的。MSM的优点是可以实现非均匀
8、的信道分割，容易实现多速率分配。缺点是在所用的高频部分具有大的带宽，这与信道不一定会匹配。基于MWM的多载波技术是将固定尺度的小波包基作为子载波的基函数，它类似于传统的OFDM，每个子信道的带宽是均匀的，子信道带宽的大小是由分解的层次决定。WPM是A.R. Lindsey对MSM和MWM的归纳和概括，它更具一般性和灵活性。基于WPM的多载波技术是将变尺度的小波包基作为子载波的基函数，小波包基函数的选取要和信道相匹配，可以最大程度地避免信道的干扰，同样易于实现多速率分配。WPM自适应的选择小波包基函数有很好的抵抗噪声的干扰，而MSM和MWM只能固定的选取基函数，对于抵抗干扰有很大的局限性。所以，
9、WPM调制无论在多速率分配还是在抗干扰方面都要优于MSM和MWM。4. 性能分析我们关心的是用ISI和ICI来定义的抗干扰能力，即对于一个特殊的子信道j来讲，当子信道j的发送符号的延迟波形影响到在同一信道正在传送的符号的接收时，产生了ISI；当所有其他信道的被发送的符号的延迟波形影响到子信道j的正在传送的符号的检测时，产生了ICI。因此，ISI和ICI对于信道j来讲有如下表示：其中，且。抗干扰能力可以从ISI的方差和ICI的方差中看出。经过运算，得对于传统的OFDM系统，抽样点个数对所有子信道均一样并且ISI和ICI可以通过分别在方程(7)和(8)中替换和，或通过子信道个数M来发现。数值分析表
10、明，对于加性高斯白噪声而言，传统的OFDM系统与基于小波变换的多载波调制系统的性能一样。5. 仿真结果图5 平均ICI功率图6 平均ISI功率为比较两种多载波调制系统通过同一二径无线信道(一条路径为视线，另一有T时间的延迟，T是输入M载波调制后的串行数据的符号周期)。通过对每一子信道计算ISI和ICI，得出干扰的平均值。图5表示相对于传统的OFDM系统，基于小波变换的多载波调制系统的ICI显著降低。正如图6所示，尽管通过增加QMF的长度可以相对地降低ICI,但同时伴随着ISI的少量增加。然而，图5、图6说明，有些小波例如Daubechies滤波器长度为6的小波在显著降低ICI的同时减小了ISI
11、，这是传统的OFDM系统达不到的。我们也可以看出，基于小波变换的多载波调制系统的ICI功率也降低了。由表1可得，对比于传统的OFDM系统，源于Haar正交镜像滤波器组的小波函数在同时降低ISI和ICI方面有很好的表现。基于小波变换的多载波调制系统还有另一个有趣的特点。在传送过程中，相对于传统的OFDM系统的均匀分配信道，基于小波变换的多载波调制系统的传输信道带宽的分配是不均匀的。在基于小波变换的多载波调制系统中，子信道带宽有大有小。这一特点能够使此系统适合根据用户的要求传送不同速率的数据。举个例子，大的子信道带宽可以用来传送高速数据例如视频信号，而小的子信道带宽可以用来传送低速数据例如声音信号
12、。换句话说，基于小波变换的多载波调制系统可以灵活分配带宽。6. 结论本文介绍了基于小波变换的多载波调制系统与其性能，通过一个二径无线信道研究了ISI和ICI的干扰功率。仿真结果说明，对比于传统的OFDM系统，基于小波变换的多载波调制系统在显著降低ICI的同时ISI也轻微减小。非均匀地划分传输带宽能够使这种技术在不远的将来应用于多载波业务当中。参考文献1 小波变换与分数傅立叶变换理论与应用，冉启文著，工业大学2 基于小波包变换的多载波调制技术，霍丽萍，郝久玉，慧敏。理工学院学报，第20卷第4期， 26-28，2004年12月。3 小波分析与其在通信中的应用，毅睿，吕述望。交通大学学报，第38卷增
13、刊，218-220，2004年10月。4 宽带无线通信OFDM技术，王博文，侃著。人民邮电。5 基于小波包的多载波技术，伟华，亚红，吴伟陵，邮电大学。6 基于正交小波的新型超宽带脉冲波形构造方法，吴宣利，沙学军，乃通，工业大学通信技术研究所。待发表。7 SYMBOL TIMING RECOVERY ISSUES IN MULTICARRIER MODULATION，Fred DaneshgaranECE Dept., Calif. State Univ., Los Angeles, (USA)。8 WAVELET OFDM，RISHABH KASLIWAL ，NACHIKET KALE， NAHAR。致在“小波理论与应用”的课程学习过程中，XXX老师渊博的学识，精彩的讲授，耐心的排疑解惑以与灵活的教学方式都给我留下了很深刻的影响。尤其在冉老师讲授小波思想时对我的启迪，使我不光在小波课程中，甚至在整个学业中都受益匪浅。在本课程即将结束结业之际，借此对冉老师表示由衷的感和诚挚的敬意。在本文的撰写中，我的同学于迎新给了我很大帮助，通过与他讨论和一起分析才得以完成论文，在此我衷心表示感！ /
