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1、陈书2-8容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A及测压管B的液面是否和容器中 的液面O-O齐平？为什么？若不齐平，则A、B测压管液面哪个高？解依题意，容器内液体静止。测压管A与上层流体连通，且上层流体和测压管A均与大气连通，故A测压管的液面与液 面 O-O 齐平。测压管 B 与上下层流体连通，其根部的压强为：p = p gh + p gh + p1 1 2 2 a其中h为上层液体的厚度，h为液体分界面到B管根部的垂向距离，p为大气压1 2 a因测压管 B 与大气连通，其根部的压强又可表示为：p = p gh + p2a其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离所以：P gh +p gh =
2、p gh1 1 2 2 2h = pihi + p2 h2 = pi h + hpp 1222由此可知：若p P，B测1 2 1 2压管的液面高A测压管的液面和0-0面；若p =p，A、B测压管的液面和0-0面三者平12齐。又因为密度为p的液体稳定在上层，故p p。1 1 2陈书2-12容器中有密度为p和P的两种液体，试绘出AB面上的压强分布图。12解令上、下层液体的厚度分别为h和h，取垂直向下的方向为z轴的正方向，并将原 12点设在自由表面上，可写出AB表面上压强的表达式：p +p gz0 z hP = a 1/1p + p gh + p gQ h丿 h z h + ha 112112整理得
3、：p + p gz0 z hP h a / 1、1p + p p 丿gh + p gz h z h + ha1212112陈书2-24直径D=1.2m, L=2.5的油罐车，内装密度P= 900kgm3的石油，油面高度为h=1m，以a = 2m；s2的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖A和B上所受到的油液的作用力。解取x坐标水平向右，y坐标垂直纸面向内，z坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线 上。油液受到的体积力为：一 J0由欧拉方程积分可得：p二pc - Pax -Pgz根据题意及所选的坐标系，当x = 0,z = h时，P = P a故：P广 Pc - Pghp = p + PghCa所以：p
4、 = p + Pg(h z)-paxa因大气压的总体作用为零，故上式中可令p = 0 a曰是：Pg(h- z)-PaxL左侧盖形心的坐标：x = 2,z = 0L 故该处的压强：p = Pgh +Pa-L2(取 g = 9.81m s2)D2左侧盖所受油液的作用力：Fl = PJ -y = 12523.7NL右侧盖形心的坐标：x = ，z = 0 故该处的压强：P = Pgh PaLR2左侧盖所受油液的作用力：F = 7439-1N (取g = 9-81m s2)陈书2-26盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h，容器 半径为R,试求当超过多少时可露出筒底？解：非惯性坐标
5、系中相对静止流体满足欧拉方程：dp = P(Xdx + Ydy + Zdz) 等速旋转时液体所受的质量力为：X = 2r cos 9， Y = 2r sin 9， Z = g将其代入欧拉方程，积分得：(1 )p = P 3 2 r 2 gz + C自由表面中心处r=0, p = p （大气压），再令此处的z坐标为：Z （令筒底处z=0）,代入 aC上式,得：p 二一pgz + CaC所以：C二Pa +P陆所以：一呵 + Pa + PgZCp p Pgz1等压面的方程:apC = 2 2 r 2 一 gz对于自由表面：p = p，故自由表面的方程为:a当筒底刚好露出时， zC =0，所以自由面方
6、程为自由面与筒壁相交处的垂向坐标：H = w2R22g旋转后的水体体积：V =兀R 2 H JH 兀 r 2 dz =兀R 2 h fH 兀2 gz dz =兀R 21g兀W 2 R 2 H 200w22 gw2兀g兀1,1,一W 2 R 4 W 2 R 2w 2 R 2兀兀兀一W 2 R 4 W 2 R 4 一W 2 R 42gw 2 2 g2 g2g4 g4 g将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以兀V =w 2 R 4 =兀R 2 h4 g所以：w = ghR陈书2-39在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀，h=10m，蝶阀是一个与 管道直径相同
7、的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动，问所需施加的 力矩应为多大？解将阀门的圆心定为坐标原点，z轴垂直向上，则压强分布为：p=p g az）由于静水压导致阀门所受的总力矩为：M = JR 2 pzdA = JR 2 2pzR2 - z2dz = 2pgR3卜 2 (h 一 R sin0)sin0 cos20d0-R 2-R 2-冗 2=2pgR3h卜 2sin0 cos2 0d0 一 2 pgR4 卜 2sin2 0 cos2 0d0-兀:2-兀2V2f /一2pgR4JK 2sin20 cos20d0 丿/22sin20 cos20d0=-2 Pgsin2 0 cos2 0
8、 二ei0 eio f ei0 + e-if e 2i0- e -2址e 4i0 2 + e-4归4丿16=8(cos40- M=-2 pgR 4上8(cos40- l)d0=-4pgR (cos40- l)d0所以： 1=-4 PgR 4Y： 2-兀f1-sin 40I 4 丿2兀=4 PgR4 = 30“-陈书2-43图示一储水设备，在C点测得绝对压强为P = 29430Pa , h=2m, R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。解建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z轴垂直向上。以C为参考点，容 器内任意点的压强可表达为：fcos30 =-2pgR 3hp = PC-Pg
9、z + -其中：n = sin0 ， r = R cos0 z作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。简单分析可知， 曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向 向上，且合力作用线通过球心。球面的外法线方向：n = Cos0 cosi ,cos0 sinj,sin其中0为纬度角，Q为经度角。曲面AB上的垂向总液体压力:pn 2兀rRd00zF =卜2z所以：F = 2兀R2 J兀2 p sin 0 cos 0d0z0F = 2兀R 2卜2z0(h)P 一 Pg z II sin 0 cos 0d0(h z + sin0 cos0
10、d0Ik 2丿- 2丿_=2兀R2 p 卜 2sin 0 cos0d0 - pg 卜2_ C 00=2兀R2 p 卜 2sin0 cos0d0 pg卜 2 z sin0 cos0d0 pgh 卜 2sin0 cos0d0 k C 002 0丿/ 1将z = R sin 0和J兀2sin 0 cos0d0 = 代入上式，得：02p 一 pgR卜 2sin2 0 cos0d0 一 pghk 2 C 04 丿p pgR 卜2sin2 0 cos 0d0 pghk 2 C 04 丿( 2 1 )=kR 2p pgR pgh丿k C 32丿(1 1 17-p 7；PgR Pghk 2 C 34将卩。=29430Pa, h=2m, R=1m，P= 1000kg. m3 和 g = 9.81ms2 代入，得:F = 41102.6N
