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1、重难探究能力素养全提升探究点一最值问题探究点一最值问题与直线相关的最值问题,首先根据所求式子的特征确定其几何意义,将问题转化成为两点间的距离,点到直线的距离等,然后求最值.C解析取点P(m,n),Q(a,b),由已知3m+4n=6,3a+4b=1,可得点P在直线l1:3x+4y-6=0上,点Q在直线l2:3x+4y-1=0上.变式训练1直线l:3x-2y+5=0,P(m,n)为直线l上的动点,则(m+1)2+n2的最小值为.解析(m+1)2+n2可看成是直线上一点P(m,n)到点Q(-1,0)的距离的平方,当PQl时,距离最小.探究点二对称问题探究点二对称问题与直线相关的对称问题,主要有关于点
2、的对称或关于直线对称的问题,主要借助几何性质列出相应关系式求解.【例2】(1)已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为()C解析直线AB的方程为x+y=3,如图所示,点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2).P2(5,3),所以根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|=(2)直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为()A.x-3y+1=0B.x-3y-1=0C.x-2y-1=0D
3、.x-2y+1=0C变式训练2(1)点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为()A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)A解析设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b),所以点Q的坐标为(-1,-3).故选A.(2)直线y=4x-5关于点P(2,1)对称的直线方程是()A.y=4x+5B.y=4x-5C.y=4x-9D.y=4x+9C解析设直线y=4x-5上的点P(x0,y0)关于点(2,1)的对称点的坐标为(x,y),将其代入直线y=4x-5中,得到2-y=4(4-x)-5,化简得y=4x-9.故选C.探究点三利用对称求最值问题探究点三利用对称求最值问题【例3】唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句为“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,其中隐含了一类有趣的数学问题“将军饮马”,即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,已知军营所在的位A解析如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),在直线x+2y=3上取点P,连接PC,变式训练3已知点A(4,1),B(0,4),直线l:3x-y-1=0,点P为直线l上一点,则|PB|-|PA|的最大值为.所以B(3,3).因为B与B关于l对称,所以|PB|=|PB|,
