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1、常见不定积分的求解方法的U堆马征指导老师：封新学摘要介不定枳分的性质，分林常见不定枳分舸各种求解方法：直接枳 分法、第一类换元法（凑撤法）、第二类换元法、分部枳分法，并结合实师例题 加以讨论，以便于在解不定枳分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定枳分直接枳分法第一类换元法（凑债法）第二类换元法分部 枳分法。The discussion of mon indefinite integral method of calculatingMa ZhengAbstractthere are four solutions of indefinite integration in this discour
2、se： direct integration； exchangeable integration； parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key wordslndefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定枳分是高等数学中的一个重
3、要内容，它是定枳分、广义枳分、魏 枳分、重枳分、曲线枳分以弓鱼各种有关枳分的函数的基础，要解决以上问题，不 定枳分的间题必须解决，而不定枳分的基础就是常见不定枳分的解法。不定枳分 的解法不像蝴分运算时有一定的法，它要根据不同题型的特点采用不同的解法， 枳分运算比起偷分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“枳不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如f dxrsinxA- i7T-sin2x （其中 0 vkvl）; J x厂（八 |.J111 A 去，TT O这一方面体现了枳分运算的困难，另一方面也推动了撤枳分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，乡种
4、结果，所以， 拿握不定枳分的解法比较困难，下面将不定枳分舸各种求解方法分类曲纳，以 便于更好的掌握、运用。1不定税分的柢念定义：在某区间I上的函数/ （劝，若存在原函数，缈祢/（X）为可枳函数，并将/ （K）的全体原函数记为“人称它是函数/（劝在区间I内的不定枳分，其中J为枳分符号，/（X）称为被 枳函数，X称为枳分变量。若F （x）为于（兀）的原函数，则：J7 （x） d心F （x） +c （C为枳分常数）。在这里要特别注意，不定枳分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一徐平行曲线，也就是说：舟（”（兀）必）和fx）dx 是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷
5、务f函数，所以，在书写廿 算结果时一定不能忘记枳分常数。性质：1微分运算与枳分运算时互逆的。注：枳分和概分连在一起运算时：dj完全抵消。d抵消后差一常数。2. 两函数代数和的不定枳分，等于它们各自枳分的代数和，1：J IfW 土 J J fMdx 士 J g(x)dx。3. 在求不定枳分。寸，非零数可提到枳分符号外面，即：jkf(x)dx k jf(x)dx(k#0)=o在魁里，给出两个重要定理：(1) 导数为0的函数是常函数。(2) 若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定枳分iOo上面将不定枳分的榔念以汝性质做了简单的介绍，下面，我们开始过论不定枳分的各
6、种求解方法。2直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定枳分的定义来廿算不定枳分是非常不方便的,利用不定枳分的运算性质和基本枳分公式从而直接求出不定枳分，这种方法就是直接枳分法（另祢公武法）。下面先给出基本求导公武：伙X)一(In x= -(4)(arctanx)=(5)(arcsing 右(6)(logox)=-(7)(*) = (8) (sinx)=cosx(9) (cosx)=-sinx(10) (tan x)T = sec2-八(11) (cot x), = -csc2o根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本枳分表: J kcb：=kjc+C(k是 常数)“心“+1 Jcosxd
7、x = sin x + CsinMr 二一 cosx + C(10)Jsecx 心二tanx + C(11)esc2 = -cotx + Cordx-dx - arc tanx + C 1 + r-dx = arcs in x + C VT?(6)卜面举例子加以说明:例 2.1：求 J(3%2-4x + l)cZx 解原 5t = j3x2-jxdx + jdx3 f jcdx 4f xdx+ f dx=X + Ci) - 4( + Ci) + (x+C3) 32=x3 - 2 兀 2 + x + C注意：这里三个枳分常数那是任意的，故可写成一个枳分常数。所以对一 个不定枳分，只要在最后所得的
8、式子中写上一个枳分常数即可,以后遇到这种 情况不再说明。解原什=x arctan% + C(/吊-羊d JI毛注：此处有一f技巧舸方法，这里先称作“加1械T法，相当于是将多项式 拆分成多f单顶式，然后利用基本枳分公武计算，下面的例题中还会遇到类做 的题型，遇到时具体讲解。直接枳分法只能廿算较简单的不定枳分，或是稍做变形就可用基本枳分表 解决的不定枳分，对于稍偷复杂一点的不定枳分便无从下手，所以，下面我们 将讨论其他方法。3第一类换元法(凑撤法)利用基本枳分公武和枳分性质可求得一些函数的原函数，但只是11样远不能解决问题，如Jsinhcosx x就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本枳
9、分公武求出其枳分。如果不定枳分J fZx用直接枳分法不易求得，但被枳函数可分解为fg = gp(x)(p(x),作变量代换U = 0(x)，并注意到cpx)dx = dcpg呱可将关于变量X的枳分转化为关干弘的枳分，于是有J/(兀炖=J g(px)(pWxWlx= J g(u)du.如果J g(u)du可以求出，不定枳分J fMdx的廿算间题就解决了，这就是第一 类换元法(凑撤分法)。注：上述公武中，第一个等号表示换元0(x)二，最后一f等号表示回代”(“)下面具体举例题加以讨论例 3.1 :求 j(2x + l)，06/x.解原武专 J(2x + l)(2x + iydx= IJ(2x+1)
10、,o6/(2a： + 1)112x + 1 = u I* jy du =C ii = 2x +1 (2x +1)* + C2 2 11 22对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和同代11程。例 3.2 :求 2-8x + 25(兀)&O)解原二冷如2 土+ C1 x-4=arc tan33p dx m 3.3：求 Jy21 解 1-7 (1-%)(1 + X) 2(1 + % +1 二 1 严(1 + x) fd(l-x) J 1-? 2 J 1 + x J 1-x+c4hl - Inll-xl + Cdx在这里做一个小结，当iS到形如:d兀2 + bx + c的不定枳分,可分为以下
11、3中情况：A 二 dF + bx + c 的：1 A大于0时。可将原式化为（乂_兀1）（兀兀2）,其中，冷、X2为df + bx + c = 0的两个解，呱原不定枳分为：f域1 r f 0-兀 1） rt/ （xx2） i（兀一上）（尢一兀 2）（X2X1）(X-X1)（兀一兀2）=*ln|T + C(X2 - x)|X2|A等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成J(xR尸仪-给然后根据基本傲分公式便可求解。A小于0时。形如例4,可先给分胃进行配方。然后可根据基本枳分公式(4 )便可求解。例 3.4 :求 Jsecxdxclx _ j cosxdx 秆 E-Jcosxd sinxcos.1-
12、sin2八dsinx (1 + sin x)(l-sinx)dsinx +j d sinx(1 + sinx) (1-sin x) + sinx次ex该题也可利用三角函数之旧J的关系求解:.sec2 x + secx tan x f站 Jaxsecx + tanx=fJ(secx + tan x)J secx + tanx=ln|secx + tanx + C虽熬两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，这也 就体规了 不定枳分的解法以汝结果的不唯一性。例 3.5：求 Jcos x.=J l + c； s2x U+Jcos2xr/2)，侨以2J yla2x2dx = Jucosf ucostdt = -y J(1 + cos2z Wlt2 2一(r+ 一sin2r) + C = 一 (r + sinrcosr) + C2 2 2为将变量还原回原来的枳分变量X,由X = asmt作直角三角形,I 2_ 2可宁，代入上武，得
