《高中数学竞赛培训教材》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学竞赛培训教材(51页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1设AXX=a2+b2,a、bZ,X1,X2A,求证:X1X2A。分析:A中的元素是自然数,即由两个整数a、b的平方和
2、构成的自然数,亦即从0、1、4、9、16、25,n2,中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,NZ证明:设X1a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、dZ.则X1X2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、dZ,故ac+bd、bc-adZ,从而X1X2A练习:1.设两个集合S=x|x=12m+8n,m,nZ,T=x|x=
3、20p+16q,p,qZ.求证:S=T。2.设M=a|a= x2-y2,x,yZ.求证:(1)一切奇数属于M;(2)4k-2(kZ)不属于M;(3)M中任意两个数的积仍属于M。3.已知函数f(x)=x2+ax+b,a,bR,且A=x|x=f(x),B=x|x=ff(x).(1)求证:AB;(2)若A=-1,3时,求集合B.二、集合中待定元素的确定例2已知集合MX,XY,lg(xy),S0,X,Y,且MS,则(X1/Y)(X21/Y2)(X20021/Y2002)的值等于().分析:解题的关键在于求出X和Y的值,而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题,要求
4、我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集),还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相等两集合的元素之积相等.解:由MS知,两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0,又由对数的性质知,0和负数没有对数,所以XY0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY)0,从而XY1.MX,1,0,S0,X,1/X.再由两集合相等知当X1时,M1,1,0,S0,1,1,这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X1不满足题目要求;当X1时,M1,1,0,S0
5、,1,1,MS,从而X1满足题目要求,此时Y1,于是X2K11/Y2K12(K0,1,2,),X2K1/Y2K2(K1,2,),故所求代数式的值为0.练习:4.已知集合,其中是正整数,且,并满足,中的所有元素之和为234,求集合A。三容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB); (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)问题:开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和
6、田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?设A参加游泳比赛的同学,B参加田径比赛的同学,C参加球类比赛的同学,则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(ABC)=28,且card(AB)=3,card(AC)=3,card(ABC)=0,由公式得281581433card(BC)+0,即card(BC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人,而只参加游泳比赛的人有15339(人) 四、有限集合子集的个数例3一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个
7、集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。分析:两位数共有10,11,,99,计99990个,最大的10个两位数依次是90,91,,99,其和为945,因此,由10个两位数组成的任意一个集合中,其任一个子集中各元素之和都不会超过945,而它的非空子集却有21011023个,这是解决问题的突破口。解:已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有2101024个子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过909198999450fmin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmax=maxf(p),f(q)fmin=minf(p),f(q)fmax
8、=maxf(p),f(q)a0fmax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmin=minf(p),f(q)例1. 当x为何值时,函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。解:f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 当x=(a1+a2+an)/n时,f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根,x12+x22的最大值是_.解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5.x12
9、x22(x1x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知x1,x2是方程的两个实根,即方程有实数根,此时方程的判别式0,即(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-160 解得:-4k-4/3.k=-5-4,-4/3,设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/918.当k=-4时,(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2,在xt,t+1上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。 解:f(x)=(x-1)2+1 (1)当t+11即t1时,g(t)=f(t)=t2-2
10、t+2 综合(1)、(2)、(3)得:例4(1)当x2+2y2=1时,求2x+3y2的最值;(2)当3x2+2y2=6x时,求x2+y2的最值。 解:(1)由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2),2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又1-x2=2y20,x21,1x1 .当x=2/3时,y=(10)/6,(2x+3y2)max=16/3; 当x=-1时,y=0,(2x+3y2)min=2 (2)由3x2+2y2=6x,得y2=(3/2)x(2-x),代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又y2
11、=(3/2)x (2-x)0,得0x2.当x=2,y=0时,(x2+y2)max=4;当x=0,y=0时,(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a0)的二实根为x1,x2,(x1x2),=b2-4ac,且、()是预先给定的两个实数。1当两根都在区间(,)内,方程系数所满足的充要条件x1x2,对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a0时的充要条件是:0,-b/2a,f()0,f()0 当a0时的充要条件是:0,-b/2a,f()0,f()0 两种情形合并后的充要条件是:0,-b/2a,af()0,af()02当两根中有且仅有一根在区间(,)内,方程系数所满足的充要条件x1或x2,对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是:f()f()03当两根都不在区间,内方程系数所满足的充要条件(1)两根分别在区间,之外的两旁时x1x2,对应的函数f(x)的图象有下列两种情形(2)两根分别在区间,之外的同旁时x1x2或