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1、 河北定州中学2016-2017学年第一学期高四开学考试数学试题一、选择题（共12小题，共60分）1已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（ ）A B C D2已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有跟之和为（ ）A B C D3已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）A B3 C D4已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A B C D5已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D6已知双曲线C1：的离心率为，一条渐近线为，抛物线C2： y24x的焦点为F，点P为直线与抛物线C2异于原点
2、的交点，则|PF|（ ）A2 B3 C4 D57若函数的图象如图所示，则（ ）A1:6:5：（-8） B1:6:5:8C1：（-6）：5:8 D1：（-6）：5：（-8）8已知集合，则集合B不可能是（ ）A BC D9设是数列的前项和，时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为（ ）A B C D10已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（ ）A.或 B2或C2或 D或11已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）A B C D12已知函数是定义域为R的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）A或 B或C或 D
3、或第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13已知，则_.14已知函数（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e,1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是_.15设为坐标原点，抛物线：的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直线与相交与，则 .16已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别相交于异于原点的两点，为抛物线的焦点，已知，则该双曲线的离心率为 三、解答题（8小题，共70分）17已知点是区域，内的点，目标函数，的最大值记作，若数列的前项和为，且点在直线上.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和为.18如图，圆与轴相切于点，与轴
4、正半轴相交于两点（点在点的下方），且.（1）求圆的方程；（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.19已知曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；（2）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率20已知函数在处取得最值（1）确定的值；（2）若，讨论的单调性21如图所示，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE.（1）求证：平面ABCD平面ADE；（2）已知AB=2AE=2，求三棱锥C-BDE的高h.22已知是有界函数，即存在使得恒成立（1）是有界函数，
5、则是否是有界函数？说明理由；（2）判断是否是有界函数？（3）有界函数满足是否是周期函数，请说明理由23已知函数.（1）当 时，函数在区间 上的最大值为，试求实数 的取值范围；（2）当 时，若不等式对任意）恒成立，求实数 的取值范围24设函数（1）若函数的图象在点处的切线斜率是，求；（2）已知，若恒成立，求的取值范围参考答案1D【解析】试题分析：设,则,所以是上的单调递减函数,又,因此可化为,即,故由单调性可知,即，故应选D.考点：导数和函数性质的综合运用【易错点晴】导数解决函数问题的重要工具,解答本题时通过借助题设提供的有效信息,巧妙地构造函数,然后运用导数这一重要工具对这个函数求导,凭借题设
6、条件得知函数是上的单调递减函数,为下面不等式的求解创造了条件.求解不等式时,以为变量建立不等式,最终通过单调性的定义得到了不等式,使得本题巧妙获解.2C【解析】试题分析：因,故当，的解集为空集,当,时, 函数的最小值为,则方程的解集为且.当且时,由可得；当时,函数的对称轴为,因此方程的解集为且,故该方程的这四个根的和为,所以所有根的和为,应选C.考点：分段函数的图象和性质【易错点晴】本题考查的是函数的零点问题和函数的性质的综合运用问题.解答本题的关键是搞清楚函数的解析式,进而再求其零点,最后求出其和.求解时充分借助函数的奇偶性,先求出当时的函数解析式为,在此基础上画出函数的图象,借助函数的图象
7、求出满足题设条件的所有根,并求出其和为.3B【解析】试题分析：因,故，则，进而可得,所以由基本不等式可得,应选B.考点：数列的知识和基本不等式的综合运用4C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，由图可知，故选C.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题是年全国卷第题.主要的解题思路就是数形结合.有关函数的问题，往往可以先画出函数的图象，然后利用图象与性质来解决.本题分段函数中第一段是对数函数外面加绝对值，我们先画出绝对值里面的函数，然后把轴下方的图象向上翻折，就可以得到的图象；第二段是一次函数，图象为直线.5C【解析】试题分析：由于“函数的图象关于点对称”，故图象关于原点对称，为奇函数，不妨
8、设.根据，得，作图象如下图所示，故最大值为.当时，过，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.考点：1.函数奇偶性与单调性；2.最值问题.【思路点晴】本题考查函数图象与性质，导数与图象等知识.第一个问题就是处理这两个函数图象的关系，图象向右移个单位得到图象，向左移个单位得到图象.由此可以确定函数是一个奇函数，由于为增函数，而且为抽象函数，不妨设，这样可以简化题目的化简过程.6D【解析】试题分析：，则，从而,选D.考点：抛物线定义，双曲线渐近线【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标2若P（x0，y0
9、）为抛物线y22px（p0）上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7D【解析】试题分析：由图象可知分母上必定可分解为，在时，有，故答案为D考点：函数的图象.8D【解析】试题分析：，故选D.考点：（1）函数的定义域及值域；（2）集合的运算.9C【解析】试题分析：由已知，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故考点：等差数列10B【解析】试题分析：由题意，或，或.考点：圆锥曲线的性质11D【
10、解析】试题分析：，而方程的解为，方程的解为或，所以，解得，所以的取值范围是,故选D.考点：函数的零点【易错点睛】本题主要考查函数零点的判断.函数零点个数的判断：函数零点的个数即为方程根的个数，可转化为函数的图象与轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数在区间上的图象是否连续不断，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点12C【解析】试题分析：画出函数的图象如图，由，可得，有图象知当时，由于，所以有四个根，的方程有且仅有个不同实数根，所以有两个根，由图象知，当或时，有两个根，因此实数的取值范围是或，故选C.考点：1、函数的图象
11、与性质；2、方程的根与函数图象交点的关系.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程的根与函数图象交点的关系，属于难题.判断方程根的个数常用方法：直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法.13【解析】试题分析：因,而,故,所以.考点：集合的交集运算14【解析】试题分析：当时，,则过的切线斜率为故
12、切线方程为，与联立后应该有两组解，即消元得到的有两个的实数解，即，解得，故答案为.考点：1、分段函数的解析式、图象及性质；2、数形结合思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、图象及性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.本题是通过切线与有一个交点，与有两个交点（转化为方程有两个根）解答的.15【解析】试题分析：过且斜率为的直
13、线方程为，与抛物线：联立解得，则直线方程为与的交点，因此考点：直线与抛物线位置关系16或【解析】试题分析：设，则，因为，所以考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件和等比数列的定义推证；（2）借助题设条件和等差数列等比数列的求和公式求解.试题解析:（1）由已知当直线过点时，目标函数取得最大值，故，方程为.在直线上，由-得，数列以-1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，.，.考点：等差数列等比数列的定义及求和公式等有关知识的运用18（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）设圆的半径为，由可得，从而求圆的方程；（2）求出点，讨论当轴时与与轴不垂直时是否相等，从而证明试题解析：（1）设圆的半径为（），依题意，圆
