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1、 学 士 学 位 论 文 BACHELORS THESIS编号 -微积分对中学数学教学的指导作用学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日 中文摘要初等数学是高等数学的基础, 二者有着本质的联系。把微积分的知识应用于解决中学数学问题上, 能起到以简驭繁的作用,尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方面,不仅可以简化解法, 而且能使问题的研究更为深入、全面。如果将整个数学比作一棵大树， 那么初等数学是根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。不论是高等数学还是初等数
2、学，其基本方法都是相通的，那么，高等数学微积分方法在中学数学中有着怎样的指导作用呢？关键词:微积分 中学数学 应用AbstractFor middle school mathematics teaching of calculus of instruction function The primary mathematics is the base of higher mathematics , there is the essential relations. Calculus is the foundation of higher mathematics and the core. hig
3、h school mathematics, such as the Roots of many issues to discuss, proof of identity, proof of inequality, geometric aspects of the application can use calculus to simplify and make the problem solution to deepen and expand.Keywords: Calculus primary mathematics applications. 目录中文摘要IAbstractI引言11 微积
4、分为解决中学数学问题提供简便方法11.1求函数的极值、最值11.2求函数单调区间31.3因式分解、代数式化简41.4不等式与恒等式的证明51.5 方程根的讨论61.6 函数的变化性态及作图71.7 实际应用问题91.8求曲边图形的面积101.9导数在数列问题中的应用112微积分对中学数学相关内容提供理论依据112.1有理数定义112.2幂级数在近似计算中的应用122.21的推导122.22数的值132.3中学数学面积体积公式的推导152.31椭圆面积公式的推导152.32球体体积公式的推导16结论16参考文献17致谢1820 引言中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础
5、，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在。因此在高等数学观点来看中学数学，首先要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里的相应的原型和特例联系起来。这样就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确地把握中学数学的本质和关键。总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点。这样有利于提高数学质量和教学水平。拓展学生的解题思路，提高解题能力。1 微积分为解决中学数学问题提供简便方法1.1求函数的极值、最值利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化
6、. （1）极值定义：设在点的某去心邻域有定义，若对该邻域中任一点,有,则称 为的一个极大值点；若有,则称为的一个极小值点，极值点的函数值称为极值；（2）用极值的第一充分条件来求极值：如果是的驻点或导数不存在点，若在 的两侧同号，则不是极值点.若在的两侧异号，则为极值点.若 在点的左为正右为负，则为极大值点；若左为负右为正，则为极小值点.而用极值的第二充分条件求极值：则只要在的邻域内可导，在的二阶导数存在，函数即在点取得极值.(3) 最值的求法：将闭区间上连续函数的最值的求法推广为开区间、半开区间（包括无穷区间）即任意区间的连续函数最值的判定和求法。其方法就是把函数的驻点(又称稳定点)、不可导的
7、点、闭端点的函数值中的最大（最小）值与左开端点的右极限值或右开端点的左极限值比较，达到最大（最小），就是函数的最大（最小）值；否则函数就没有最大（最小）值.例1 已知，试判断 是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解： 当时 函数在和上是增函数，在上是减函数。 当时，函数取得极大值,当时，函数取得极小值例2 求函数在上的最大值和最小值.解： 令得驻点为 ，它们为的可能的极值点，算出这些点和区间端点处的函数值：，将它们加以比较，可知在上函数的最大值为，最小值为.012000极小值增极大值2减拐点减极小值增凹凸性凹凸1.2求函数单调区间在高中阶段，运用单调性的定义、以及复合函数单调区间的求解方法
8、，可以解决一些比较简单基本函数经过几次基本运算后所得函数的单调性。但是对于一元三次（或更高次）函数的单调区间问题，用单调性的定义就显得力不从心，甚至不能求解。想反，用导数这一工具，却显得得心应手。求单调区间的步骤：（1）已知,求出；（2）求出的点；（3）令的区间是函数的增区间，故函数在此区间是增函数；（4）令的区间是函数的减区间，故函数在此区间是减函数；例 已知函数时都取得极值.求 的值与函数的单调区间.解： 由 得 ,令，可解得 在是增函数,在是减函数.由此可见，导数在求阶型如的函数的单调性时，比普通方法要优越很多！1.3因式分解、代数式化简用定积分进行因式分解，常可使解法简便,巧妙. 我们
9、熟知对于一元多项式函数有:,那么同样针对多元多项式函数，对于某个都有：，而多项式比不含有项，因此只要多项式与多项式有公因式，就可以对多项式进行因式分解，这是基于以下一个引理：设为元多项式，若存在某个，使得与有公因式，则 与有公因式. 该引理对于定积分在因式分解中的应用的意义在于，针对构造的函数，只要存在某个点，使得与有公因式，则可判断,可以进行因式分解.例1 分解因式解：把看作变量，与看作常量（参数）.令求对导数得， 对上式取不定积分，得 其中C为常数，此处C是含有变量y和z的代数式，从而得恒等式上式中令于是 .例2 化简解：把看作变量与看作常量，令 对求导得 上式两端取不定积分得 由，得 由
10、式，令x=0，得 .故 原式.1.4不等式与恒等式的证明不等式与恒等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，往往需要较高的技巧。利用微积分的知识与方法，例如微分中值定理、函数增减性、极值判定法等来证明，可简化证明，降低技巧性.利用微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理等证明不等式： ，是利用在内的特点证明不等式.利用函数增减性证明不等式：函数 在区间 可微, 则 在 严格递增(递减) 充要条件: 或).证明不等式的具体步骤：（1）令不等式的形式为;(2)不妨;(3)求,并判断出,若即可判断在定义区间内是增函数，既而原函数,即可判断出原不等式的大小.反之同理可得.证明恒等式的方法
11、：即证明原等式的一阶导数为零即可，则可推出原等式必然成立.假设原等式为，若证明原等式成立，即证，所以可推出，当时，即可得.例1 证明不等式: .证明:设 则 所以递 增,又故 设 则 由上面已证得的结果: 且因, 即知 .例 2 试证当 时, 有.证明当时,等式显然成立，当时,对等式左边求导,得到 .所以 常数, 当时,.故 .1.5 方程根的讨论不妨设原方程一般形式为.设在为二阶可导函数,且满足 ； 设当（1）,从而有，则原方程必与轴有个交点，即为原方程的解.同理可得：（2）当，这时有. （3）当，这时有.(4)当，这时有.也可判断出原方程必与轴相交,即为原方程的解.例1 试证:当 时,方程
12、有唯一解,.证明设,则当 时,因为 ,所以 由连续函数中值定理知, 上有解, 即此外, 因为 ,所以 上单调递减,故 方程上只有一个根. 由结论可知,当的图像与直线有且只有一个交点。关于函数的图像与直线是否有交点的问题,可通过对方程根的讨论得到完满的解答。注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的根，这样做有一定的运算量，显得麻烦.现采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简便.1.6 函数的变化性态及作图函数的图像以其直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候,其作用尤为明显,这就要求我们能正确地做出函数的图像。中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时,通常用描点法，做出函数的图像。这种图像一般是粗糙的,不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态。利用导数作为工具,可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断,从而比较准确地做出函数的图像。一般来说,描绘函数的图像可以按以下步骤进行:(1) 求出函数的定义域, 确定图像范围。(2) 判别函数是否具有奇偶性或周期性,缩小描绘图的范围。(
