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1、1. 求证: n35n(nN)能被6整除. 证明: (1)当n1时, n35n6能被6整除; (2)假设当nk(k1, 且kN)时, k35k能被6整除. 则当nk1时, (k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k(k1)6.由假设知k35k能被6整除, 而3k(k1)、6也能被6整除, (k1)35(k1)也能被6整除. 由(1)(2)可知, 命题对任意nN都成立. 2. 设正整数数列an满足: a12, a26, 当n2时, 有|aan1an1|an1.(1)求a3、a4的值; (2)求数列an的通项并用数学归纳法给出证明. 解: (1)n2时, |aa1a3|a1, 由已知a
2、12, a26, 得|362a3|1, 因为a3为正整数, 所以a318.同理, a454, (2)由(1)可猜想: an23n1.证明如下: n1,2时, 命题成立; 假设当nk1与nk(kN, k2)时成立, 即ak23k1, ak123k2.于是|aak1ak1|ak1, 整理得.由归纳假设得|23kak1|23kak123k, 因为ak1为正整数, 所以ak123k, 即当nk1时命题仍成立. 综上, 由知对于任意nN, 有an23n1成立. 一、选择题1. (2012合肥质检)对于不等式n1(nN), 某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n1时, 11, 不等式成立. (2)
3、假设当nk(kN, k1)时, 不等式成立, 即k1.则当nk1时, (k1)1.即当nk1时, 不等式成立. 则上述证法()A. 过程全部正确B. n1验证不正确C. 归纳假设不正确D. 从nk到nk1的推理不正确解析: 选D.本题的证明中, 从nk到nk1的推理没有用到归纳假设, 所以本题不是用数学归纳法证题. 2. 某个与正整数n有关的命题, 如果当nk(kN, k1)时, 该命题成立, 则一定可推得当nk1时, 该命题也成立, 现已知n5时, 该命题不成立, 则()A. n4时该命题成立B. n6时该命题成立C. n4时该命题不成立D. n6时该命题不成立解析: 选C.因为“当nk(k
4、N, k1)时, 该命题成立, 则一定可推得当nk1时, 该命题也成立”, 故可得当n5时该命题不成立, 则一定有n4时, 该命题也不成立. 3. 观察下列式子: 1, 1, 1(n1)2n2n2; 当n2,3时, 3n(n1)2n2n2; 猜想: 当n4时, 3n(n1)2n2n2, 下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, 当n4时结论成立, 假设当nk(k4)时结论成立, 即3k(k1)2k2k2, 两边同乘以3, 得3k13(k1)2k2k2k2k12(k1)2(k3)2k4k24k2, 而(k3)2k4k24k2(k3)2k4(k2k2)6(k3)2k4(k2)(k1)60, 3k1(k1)12k12(k1)2, 即nk1时结论也成立. 当n4时, 3n(n1)2n2n2成立. 综上得, 当n1时, Sn(n2)2n2n2; 当n2,3时, Sn(n2)2n2n2.
