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1、H 杠警 $ * f 9 厦 2 $I VI V 71 Al Uf 的家斑构成了 “兔子数列”2.4兔子数列家族兴旺又添新成员附：由递推关系求 n重复合函数的定义域斐波那契（Leonardo Fibonacci,约11701250）也许是生活在 丢番图之后，费马之前欧洲最杰出的数学家在他最重要的著作算盘书记载了一个问题: 某人饲养一对小兔子， 如果它们每个月生一对 兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月 生一对兔子，问一年后共有多少对兔子书中对此作了分析，设新出生的一对小兔 子，第一个月小兔子没有繁 殖能力，所以还是一对；两 个月后，生下一对小兔子， 共有两对；三个月以后，老 兔子又生下一对
2、，因为小兔 子还没有繁殖能力，所以一 共是三对；依次类推可以列 出下表：月数n012345678兔子对数an112358132134数列1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,被称为“兔子数列”书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得，即可以表示为an 1 =an +an 1.可以联想的是，兔子的繁殖如此，动物的繁殖都有这样的规律吗？换句话问，在什么条件下，就产生“兔子数列”呢？也许我们可 以从蜜蜂的繁殖中找到答案一般动物都有父亲和母亲，但蜜蜂例外，它只有母亲而不一定有父亲养蜂人都知道，蜂后产的卵，若能受精，则孵化为雌蜂；若不 能受精，则孵化为雄蜂 也就是说，雄蜂
3、有母无 父，雌蜂有父有母按照 这个追溯上去，一只雄蜂 的上一代，再上一 代，各代总蜂数恰好1730年法国数学家棣莫弗发现了 “兔子数列”的通项公式:an ；（F）n1（宁八，有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却要用无理数来表达1 . 51753年希姆松发现“兔子数列”前后两项之比可展成连分式:anan 1取 x 5，得 an3 an 1 = (一5)n，2 2 2取-1 /5田- 1 代.為、n .取 x，得 anan 1 =(),2 2 2一得1843年另一位法国数学家比内首先证明了通项公式，因此现在称其为比内公式f)n，an11 I. 5 n 1 5 n nd)-(p).19世
4、纪法国数学家吕卡首先将这个“兔子数列”命名为斐波那契数列.这就证明了an1 r.1 5 n 1( )、52斐波那契数列还有很多奇妙的属性,有兴趣的话，你可以参考沈比内公式有不少证明方法，下面介绍的方法是联想得到的能否利用关系式an 1 = an + an 1构造一个我们熟悉的等比数列呢？如果可 以的话，等比数列的通项必须含有an与an 1，这样后项含有an 1与a.,才能构成an 1与a., an 1的关系式设an xan 1是公比为q的等比数列，即有an 1 xan q(an xan 1)，、 1 1比较 an 1 = an+an 1，得 q = ，x=1.x x于是通项an xan 1 =
5、佝 xao)(丄)n 1，注意到a1 ao 1，所以xan xan 1=(1 x)(!)n 1 x11由一 x =1， - 1 x，所以an xan 1 = (1 x)n，同时可以求得xx康身著历史数学名题赏析第九章，在那里还给出了证明例如矩阵等式也是其中一个:nan 1 an11anan 110斐波那契数列是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用 1963年美国还创刊斐波那契季刊，用来专门研究 斐波那契数列，又发现了与斐波那契数列的很多奇妙的性质举两个斐波那契数列的例子：例1上楼问题：上楼梯的时候，如果规定一步只能上一级或二 级台阶，那么对于楼梯台阶数为n时的上楼方式数an是多
6、少呢？解：n=1时，显然只有1种上楼方方式，即a1 =1； n=2时，可以 一级一级上，也可以二级一步上，只有2种上楼方方式，即a2=2;； 上第n+1级时，或是从第n级上了一级，或是从第 n-1级上了二级， 只有这两种方式，所以an i = an + an 1 ,显然这是一个斐波那契数列的 应用问题例2座位问题：师生集合坐一排，但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题，因此规定老师彼此不可相邻而坐，若有n张椅子，则有多少种可能的坐法？解：n=1时，显然有2=a2种坐法：可坐老师（T）或学生（S） ; n=2 时，可坐SS TS ST,共有3=a3种坐法；n=3时，可坐SSS SST STS
7、 TSS TST,共有5=a4种坐法； ；若有 n张椅子，设有an 1 种坐法.可以分为两类，如果最后坐的是学生，前面n-1张椅子的坐 法是an种，如果最后坐的是老师，则最后两张坐的必定要是ST才符合条件，即最后两张已经固定，相当于有n-2张椅子，an1种坐法.因 此an 1 = an + an 1 ,斐波那契数列又再度出现，所不同的是数列少了前面两项1.类似例2的还有子集问题：求集合1,2,10中所有不包含相邻正整数的子集个数.类比一下，你能求出来的！凶杀在现场留下了如下的神秘数字:“13-3-2-21-1-1-8-5”，就是乱在小说达芬奇密码中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始，序的斐波那契数
8、列可见斐波那契数列应用之广泛 更有思考空间的是斐波那契数列居然与“贾宪三角”、“黄金分割”等数学问题也密切相关将“贾宪三角”如下排列：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 510 10 5 11 615 20 15 6 1过第一行的“ 1”向左下方作450斜线，之后作直线的平行线,将每条直线所经过的数加起来，即得到 1, 1, 2, 3, 5, 8,真是“横看成岭侧成峰”，斐波那契数列在其中limnanan 1limn115、n1 1: 5n 1 ,J 2 )( 2_)1 (_l)n 2(j_ )n 2、5(2)(2 )2将斐波那契数列前一项与后一项求比，可以发现越来越接近黄金
9、 分割数0.618.事实上可以求极限，证明这一点:1 1.5 0.618.1 一 5 22如果你任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成 5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等， 你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割.如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如6、10、16、26、（从2开始每个数的两倍）.斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用.除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关.数学家泽林斯基在一次 国际性的数学会议上提出树生长的
10、问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年.再在下一年 又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照 这个规律长出新枝.那么，第1年它只有 主干，第2年有两枝，第3年就有3枝， 然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分 枝数正好是斐波那契数.这个规律，就是 生物学上著名的“鲁德维格定律”.仔细观察大自然各种花， 它们的花瓣的数目也喜欢按斐波那契数 列排列.你看，最常见的花瓣数目就是5枚，像梅、桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等，就都开 5瓣花，另外百合的花瓣有 3枚，飞燕草 等的花瓣是8枚，瓜叶菊等的花瓣是 13枚，向日葵的花瓣有的是 21 枚，有的是34枚，皱菊的花瓣有的是 34、55或89枚
11、.许多植物的 树叶、果实或种子的排列也出现了斐波那契数列.让我们来欣赏植物：蓟的果实吧，它的头部几乎呈球状.在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋.我们可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条.事实上许多常见的植物，我们食用 的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等 的叶子排列也具有这个特性，只 是不容易观察清楚.尽管这些顺 逆螺旋的数目并不固定，但它们 也并不随机，它们是斐波那契序 列中的相邻数字.这样的螺旋被 称为斐波那契螺旋.大自然也在 使用斐波那契数列呢！为什么植物的叶子、花瓣和果实会按照斐波那契数列进行排列？ 是不是这个数列本身揭示出了某种自然法则？现在还是个迷团.
12、不过，这个看似平凡的数列现在已经吸引了许多科学家的注意，也许用不了太长时间，科学家就能发现这个平凡的“兔子数列”家族如此兴 旺发达的真正缘由.附:由递推关系求n重复合函数的定义域f1(x)f(x)f2(X)ff1 (x)f3(X)f f2 (X)f4(X)ff3(X)f5(X)ff4(X)x 22x 3,2x 33x 53x 55x 8你还能发现斐波那契数列的例子吗?当时在高中一年级读书的、我的女儿顾劼惺居然在做一道数学题时偶然发现了又一个斐波那契数列下面就是她写的一篇小论文，经过修改与数学通讯评审委员 会评审，被评为 2001年全国高中生小论文一等奖，刊登于数学通 讯2002年1月-2月合刊
13、P89-90.附在下面，算作“发现并不神秘” 的一个注脚.尽管这论文很“小”，但却在我们身边，我们可以触摸 到；尽管这算不了什么“灵感”，但我们可以由此想象一下灵感产生 的过程；尽管小论文并没有什么价值，但却说明了在学习过程中，你 只要善于合情推理，是可以有新的哪怕是很微小的发现的期待你的小论文，期待你的发现呵！正是：继承前人学而思，突破自我思而学错在求出ff(x)后不应该化简，正确的答案是X 1,且x 2,其包含在f(x)的定义域内我喜欢联想推广，如果要求fff(x)的定义域呢？于是我再求出f ff (x),其定义域包含在f f (x)的定义域内，应是2x 3口 3x 1, x 2，且 x
14、2我进一步想：如果多次复合，求fn(x) = ff f(x)的定义n重顾劼惺 南京大学苏州附中高二(2)班在一次练习中，我遇到了如下问题：若f (x)，求ff(x)的X 1定义域最初我先求出ff(x) = J，再求定义域，答案为x 2.错了 !2 x它们的定义域依次为x 1X1 , X 2X2 , xfn 1 (x)的定义域包含在X3,fn (x)的定义域内X4 ,8 x5,，且域(n为1的正整数),该有什么答案呢？好奇心吸引着我我老老 实实地作了几次复合：仔细观察终于发现，fn(X)的解析式与xn都是有规律的.fn (x) = f f n 1 (x)=- 就是解析式的递推公式,而fn 1 (x) 1于是，我对函数f(x)1 Xf1 (X)作了同样的演练f(x)x Xn1是定义域的递推关系于是可以得到上述问题的一Xn 1f2 (X)x 1ff1(x)=X3般结论：fn (x)的定义域是x 1x1, x 2x2, x - x3,且f3(X) ff
