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1、与函数单调性有关的四种异题同构类型的解法整合刘亚平、胡耀宇一问题的提出导数的引入，使研究函数单调性和最值的方法更加丰富，近几年的高考题中经常出现以下四种类型的问题：类型I： 已知函数在时单调，求其中参数的取值范围；类型II： 已知函数在时无极值，求其中参数的取值范围；类型III： 已知函数在时不单调，求其中参数的取值范围；类型IV： 已知函数在时有极值，求其中参数的取值范围。因为各种类型叙述形式多变，解题方法灵活，能充分考查学生的数学思想、计算功底和优化思维能力，从而备受命题者的青睐。另一方面，学生面对问题时的状态，往往在听讲时思路清晰，自己做时却出现逻辑不清，或者任感觉做题，方法选择不优，就
2、会做题繁琐，计算困难。那么这四种类型有哪些常见的解题方法？各种解题方法如何进行优化整合？它们之间的逻辑联系如何？本文从一道经典考题入手来分析提出的问题。二经典恒久远的一道试题（2009年高考浙江省理科22题）已知函数，其中。设函数。若在区间上不单调，求的取值范围。解法一 直接法：分离参数，求值域，因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由，得，令有，记，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有，故，得到，而当时，在上有两个相等的实根，故舍去，所以。解法二 直接法：根的分布，求参数范围 因在区间上不单调，在上有实数解，且无重根，当在内恰有一解，则，得；当在内恰有两个不等解，则，得若，
3、得，的两根为0和舍去；若，得，的两根为3和，因为，取。综上所述。解法三直接法：直接解出方程的根因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，在时的两根为和从而转化为和中至少有一个在内，即，或解得或。综合，得解法四 间接法：先用分离参数法求出在区间上单调时的取值范围，再求其补集。令，则同解法一可求出的取值范围是。若在区间上单调增，即对恒成立，分离参数得，从而。若在区间上单调减，即对恒成立，分离参数得，从而。即在区间上单调时，或。从而在区间上不单调时，解法五 间接法：先用根的分布求出在区间上单调时的取值范围，再求其补集。若在区间上单调增，即对恒成立。从而方程在R上无解或两根在区间外，有，或或，解
4、得。若在区间上单调减，即对恒成立。从而方程两根在区间外。故解得。即在区间上单调时，或。从而在区间上不单调时，三、整合解题方法，回答前面提出的三个问题1解题方法的整合 对于类型III：已知函数在时不单调，求其中参数的取值范围，解题方向有：直接法求在时有实数解，且无重根； 而对于方程有解的问题常有： 方法一是分离参数得，那么下一步的解题方向是求函数的值域，也就是对应的参数的取值范围。方法二是转化方程，在时的根的分布来求参数的取值范围，这时经常会分恰好一解；恰好两解等情况的讨论。方法三是直接解方程，考虑其根至少有一个满足且无重根。另外，解题方向还有间接法，先求出函数在时单调，利用或者对恒成立，来求参
5、数的取值范围，然后求补集。当问题纳入到不等式恒成立求参数的范围时，其解题方法更加灵活多变。常见的有：方法一是分离参数得或者对恒成立，那么下一步的解题方向就是通过求函数的最值来求对应的参数的取值范围；方法二是在不便分离参数时，也可直接求的最值来解；方法三是类似于前面解法五一样，借助于的图象，利用根的分布求，也是常见的解题手段。2解题方法的优化正因为解题方向有直接和间接两条路，而每条路中的解题方法的选择又多变灵活；学生就更应当对解法进行优化，以便在相对短的时间内完成解题任务。一般而言，无论是方程有解还是不等式恒成立问题，都可考虑分离参数解；特别是含参数的项只有一项，或者即使有几项，但参数的次数相同
6、，则可先对含参数的项提取参数的公因式，然后再分离；分离后则转化为另一个新的函数的值域或最值。如果是一元二次函数型，则可先考虑判别式是不是完全平方式，因为如果是，这时对应方程的根一定是有理根。例如，已知函数 ，若函数在区间上不单调，求的取值范围。简解：直接法：求导得，解得；函数在区间上不单调，等价于，或，解出的取值范围是。间接法：若函数在区间上单调，令 解得。当即时, 函数的单调区间是,则区间是单调区间的子集。有，或，或解得同理当即时, 函数的单调区间是,则区间是单调区间的子集。有，或，或解得当即时函数在R时单调递增。综合得，当，函数在区间上单调，当时，函数在区间上不单调。可见，当方程的根是有理
7、根时，直接求解方程计算更简单。特别地，当一元三次函数在时不单调，求其中的参数的取值范围，因为其导函数是一元二次函数，则可直接考虑判别式。如果一元三次函数在时单调，求其中的参数的取值范围，因导数是一元二次函数，则可直接考虑判别式。例如，设函数 ，且方程的两个根分别为1、4.若在无极值点，求的取值范围。简解：由条件的两个根分别为1、4，求出由于，所以在内无极值点等价于在内恒成立。又解得。3四种类型的逻辑联系在中学范围内，我们一般考查连续函数的问题，因此类型I“已知函数在时单调，求其中参数的取值范围”与类型II“已知函数在时无极值，求其中参数的取值范围”实质是同一类型。而类型III“已知函数在时不单
8、调，求其中参数的取值范围”与类型IV“已知函数在时有极值，求其中参数的取值范围”也可以看作是等价的。考虑解法，对类型I“已知函数在时单调，求其中参数的取值范围”问题如用直接法，是利用或者对恒成立处理；当然也可通过间接法，先求，在时有实数解，且无重根求解参数的取值范围，然后求补集。而类型III“已知函数在时不单调，求其中参数的取值范围”问题可以通过直接求，在时有实数解，且无重根求解；也可以用间接法，先求出函数在时单调，利用或者对恒成立，来求参数的取值范围，然后求补集。至此，对于四种类型，在横向上它们有各自对应的等价联系；纵向上由于都可用直接法和间接补集法，故从解法上看它们完全统一，因而可视作异题同构的一类题。参考文献：1胡耀宇，张怡。程序化思维合理化转换一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略J.中学数学（高中版），2009，（11）。2 胡耀宇。对两个三次函数最值条件探求的纠错分析J。数学通讯（学生），2009，（5/6）作者简介：刘亚平、胡耀宇，湖北省监利一中（433300）原文出处：中学数学研究（南昌），2012.8.3740
