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1、6.向心加速度方法点拨向心加速度的这几种常用表 达式要会根据已知条件灵活选 用.教材习题研讨1. 解析：本题主要考查对向心加速度的各种表达式的理解和掌握.线速度相等时，考虑a-r4n 2周期相等时，考虑arT2角速度相等时，乙的线速度小，考虑a0 v线速度相等时，甲的角速度大，考虑a3 v.答案：A.乙的向心加速度大B. 甲的向心加速度大C. 甲的向心加速度大D. 甲的向心加速度大定要注意统一单位.2n4n 22. 解析：已知周期，由3 = n，代入a=3 2r得a= r.将已知数据统一成国际单位后代入得4x3.142TT 2a=X 3.84X108 m/s2=2.7X 10-3 m/s2.(
2、27.3 x 24 x 3600)关于向心加速度的几个表达式，要根据题给条件灵活选取.答案：2.7X10-3 m/s23解析：在相同时间内的路程之比为4： 3,则由v=生知线速度之比 At为4 ： 3；又已知运动方向改变的角度之比是3 : 2,所以角速度之比为3 :2.利用公式a=v3可得aA =-a v3B B B3 = 2 2一 1 答案： 2： 14解析：两轮边缘上各点的线速度必相等，则有v1v2v又因为r1 : r21 ： 3，所以3 ： 3 2= ： 23 : 112 r v12(1) 两轮的转速比等于角速度之比，即有n1： n231： 323： 1.(2) 在同一轮上各点的角速度必
3、相辎a=32r知，A点的转动半径为 机器皮带轮的一半，故A点的向心加速度为轮边缘的向心加速度的一潤 aA0.05 m/s2.(3)电动机皮带轮边缘上点的向心加速度a,=1r1机器皮带轮边缘上点的向心加速度a22r2所以 a1： a2r2： r13： 1 得 a13a20.30 m/s2.答案：(1) 3： 1(2) 0.05 m/s2(3) 0.30 m/s2教材优化全析全析提示匀速圆周运动只是“速率” 大小不变.（一）圆周运动需要向心力和向心加速度1. 圆周运动是变速运动.物体做圆周运动时，由于运动方向在不断地改变，所以是变速曲线运 动.2. 圆周运动需要向心力和向心加速度.要点提炼圆周运动
4、也是曲线运动，所 以满足做曲线运动的条件.a. 因为是变速运动，就必然存在加速度.因此物体受合外力必不为零.b. 物体做曲线运动的条件是：合外力与初速度不在同一直线上，即加 速度与初速度不共线.当物体做匀速圆周运动时，合外力的方向指向圆心，加速度的方向也 指向圆心，并且与线速度垂直.当物体做变速圆周运动时，合外力的方向不指向圆心，但是有指向圆 心的分力，存在指向圆心的分加速度.思考：地球绕太阳做（近似的）匀速圆周运动.地球受到什么力的作 用？这个力可能沿什么方向（图661）？力的作用效果之一是改变物 体的运动状态，即改变速度的大 小和方向.地球受到了太阳的引力作用.可以设想：如果没有太阳引力，
5、地球将 沿圆轨道的切线方向飞出去，做匀速直线运动.因此是引力在改变地球的 速度.同时，地球线速度大小不变，说明引力只改变速度方向.我们知道， 只有当引力与速度垂直时，在速度方向上引力的分力才等于零，不会改变 速度的大小（如图 662）.这时，引力只改变速度的方向.因此，引力 沿着半径的方向指向圆心.思维拓展本例中合力指向圆心，使小 球产生指向圆心的加速度，这是 它的作用效果 .根据这一效果可 以命名合外力为向心力.可见，向 心力不是什么特殊的力，不过是 指向圆心的合外力而已.思考：光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速 圆周运动.小球受几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向（图
6、 66 3）？小球受到重力、桌面支持力和绳的拉力.其中，重力、支持力在竖直 方向上相互抵消.因此，合力就等于绳的拉力.显然，拉力的方向沿着绳指 向图钉，即沿半径方向指向圆心.可见，拉力的方向与速度方向（沿圆的 切线方向）相互垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小 .正是拉力 的作用使小球做匀速圆周运动.（二）速度变化量全析提示在求速度变化量时，公式 v=v2-v1 仅适用于直线运动，并 且一定是末速度 v2 减去初速度 v1.若是曲线运动，因为速度是矢 量，其加减运算遵守平行四边形 定则.1. 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差.2. 速度变化量是矢量.因为速度是矢量，
7、有大小，有方向，故末速度与 初速度之差也有大小和方向例如，小球向正东做直线运动，初速度为v1= 5 m/s， 10 s后末速度变为v2=10 m/s,方向向西.取向东为正方向，则有： v=v2-vi= （TO m/s）-5 m/s=-15 m/s即速度变化量的大小为15 m/s,它的方向是向西.3. 用矢量图表示速度变化量（ 1 ）作法：在学习匀变速直线运动时，加速度a=，加速度的方向就At与4 v的方向相同：加速时，a与 v0同向；减速时，a与v0反向.从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速 度矢量V的末端作一个矢量 v至末速度矢量v2的末端，所作的矢量 v 就等于速
8、度的变化量.（2）直线运动中的速度变化量： 如果速度是增加的，它的变化量与初速度方向相同（图6-6-4甲）； 如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反（图6-6-4乙）.图 6 - 6 - 4（3）曲线运动中的速度变化量：物体沿曲线运动时，初末速度v1和v2不在同一直线上，速度的变化 量4 v同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A向B运动，在A、B两点的速度分别为V、v2 （图6-6-5）.在此过程中速度的变化量如图 6- 6- 6 所示.图 6- 6- 6思维拓展力、速度、加速度、位移等 都是矢量，都遵守相同的运算法 则，即平行四边形定则.图 6- 6- 7可以这样理解：物体
9、由A运动到B时，速度获得一个增量 V，因此, v1与卜v的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时，可以以行、 F2为邻边作平行四边形，则FF2所夹的对角线就表示合力F.与此类似, 以v1和4 v为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就是卩和4 v的矢量 和，即v2.如图6-6-7所示.因为AB与CD平行且相等，故可以把v v、v2放在同一个三角形中，就得到图6-6-6所示的情形这种方法叫 矢量的三角形法.三）向心加速度（1）分别作出质点在A、B两点的速度矢量vA和v ，如图 6 6 8B甲由于是匀速圆周运动，VA和VB的长度是相等的.ABAV思维拓展从以上讨论可以看出，向心 加速度是
10、变量 .虽然其大小可以 不变，但其方向时刻改变，故匀 速圆周运动不仅不是匀速运动， 而且也不是匀变速运动，而是变 加速曲线运动.1. 向心加速度的方向：设质点沿半径为 r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于 A 点，速度为VA,经过时间4 t后位于B点，速度为vB我们用画矢量图的方法来找出匀 AB.速圆周运动的加速度方向.全析提示在这里用到了几何三角形和 矢量三角形相似的方法 .要注意 领会这种方法.（2）为便于对vA和vB作比较，将vA的起点移到B,同时保持vA的 长度和方向不变（图6 68乙），它仍可代表质点在A处的速度.（3）以vA的箭头端为起点、vB的箭头端为终点作矢量*,如图6AB 6
11、8丙.如前所述， v就是质点由A运动到B的速度变化量.弓是质点从A运动到B的平均加速度由于弓与v的方向相 同，以下我们只讨论 v的方向，它代表了质点的加速度的方向.（5）从图6 6 8丙看出， v并不与圆的半径平行，但当 t很小 很小时，A、B两点非常非常接近，vA和vB也就非常非常接近（图66 AB8 丁）.由于vA与vB的长度相等，它们与厶v组成等腰三角形，当 t很 AB小很小时， v也就与V （或vj垂直，即与半径平行，或者说A v指向 AB圆心了 . 结论：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心.这个加速度称为向 心加速度.2. 向心加速度的大小在图 668 丙中，因为 v 与 OA 垂
12、直， v 与 OB 垂直，且 v =v ，A B A BOA=OB,所以AOAB与v、v、A v组成的矢量三角形相似.AB用v表示vA和vB的大小，用A l表示弦AB的长度，则有 ABAv Mv= 或 A v=A l v rr用A t除上式得Av = AlvAt At r当A t趋近于零时，型表示向心加速度a的大小，此时弧貝吕对应的At圆心角3很小，弧长和弦长相等，所以A l=r Q，代入上式可得Avr0va = =vWn AtAtr利用v=W r可得v2 一a = 一 或 a =r3 2.n r n牢记这五种表达式，在应用时，要会根据条件灵活选用.3. 向心加速度的几种表达式除了上面的a =
13、、a =rw 2外，向心加速度还有另外几种形式.n r n2n联系W =2n f 代入a =rW 2可得：Tna =r 和 a =4n 2f2r思维拓展这里与直线运动有所不同： 直线运动中加速度描述了速度大 小变化的快慢.n T 2 n 至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种.4. 向心加速度的物理意义：因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速 度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的 物理量.思考：从公式a=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公 nr式a=rW 2看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？n值.同理，在公式a =巴
14、中,r我们注意到，在公式y=kx中，说y与x成正比的前提条件是k为定当v为定值时，a与r成反比；在公式a =rnnW 2中，当W为定值时，a与r成正比.因此，这两个结论是在不同的前提 n下成立的，并不矛盾.思考：如图 669 所示自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C.其中哪两点向心加速度的 关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与 半径成反比”？作出解释.图 6 6 9大、小齿轮用链条相连，因此两轮边缘上的点线速度必相等，即有v 2v 2vA=vB=v又役=，aB= 7AB所以A、B两点的向心加速度与半径成反比.小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有W B=W C=W .又 BC aB=rBW 2，aC=rCW 2,所以B、C两点的向心加速度与半径成正比.B BC C6.向心加速度学习目标导航1.理解什么是速度变化量，知道如何用矢量图表示速度的变化量.全析提示又一次遇到了分析传动装置 的线速度、角速度关系的问题 . 一定要掌握什么时候线速度相 等，什么时候角速度相等.学习提示本节重点是理解速度变化量及矢量图的表示方法，难点是用 矢量图推导向心加速度.知识链接
