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1、重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引重难探究能力素养全提升探究点一利用累加法、累乘法求数列的通项公式探究点一利用累加法、累乘法求数列的通项公式【例1】(1)数列an满足a1=1,对任意的nN+都有an+1=a1+an+n,求数列an的通项公式;解an+1=an+n+1,an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2).这n-1个等式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+n(n2),(2)已知数列an满足 ,求an.规律方法规律方法1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加
2、法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.变式训练变式训练1已知在数列an中,a1=2,且满足an+1=an+2n+n,求数列an的通项公式.解由条件知an+1-an=2n+n,a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,an-an-1=2n-1+n-1(n2,nN+),把以上(n-1)个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+(2n-1+n-1),探究点二构造等差
3、探究点二构造等差(比比)数列求通项公式数列求通项公式【例2】(1)在数列an中,a1=,6anan-1+an-an-1=0(n2,nN+).证明:数列 是等差数列;求数列an的通项公式.(2)已知在数列an中,a1=2,an+1=2an-3,求an.解由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以数列an-3是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)2n-1,即an=-2n-1+3.规律方法规律方法1.对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.2.形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-
4、1)0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第二步由待定系数法,解得第三步写出数列 的通项公式;第四步写出数列an的通项公式.变式训练变式训练2已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为 的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an
5、-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列.探究点三探究点三利用前利用前n项和项和Sn与与an的关系求通项公式的关系求通项公式【例3】(1)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,nN+,则an等于()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2A 解析因为Sn=2an-4,所以当n2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以 =2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列an是首项为4,公比为2的等比数列,则
6、an=42n-1=2n+1,故选A.规律方法规律方法已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤:第一步利用Sn满足条件p,写出当n2时,Sn-1的表达式;第二步利用an=Sn-Sn-1(n2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步若求出n2时的an的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n2时的an的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.变式训练变式训练3在数列an中,a1=1,a1+2a2+3a3+nan=an+1(nN+),求数列an的通项公式an.成果验收课堂达标检测123451.数列an中,a1=1,且an+1=an+2n,则a9=()A.1 0
7、24B.1 023C.510D.511D 解析由题意可得an+1-an=2n,则a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a9-a8)=1+21+22+28=29-1=511.故选D.123452.已知数列an的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=.解析log2(Sn+1)=n+1,Sn=2n+1-1.当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.当n=1时,上式不满足,123453.记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.-63 解析由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,S1-1=-2.当n2时,Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn-1=2(Sn-1-1),所以数列Sn-1是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-22n-1,则Sn=1-22n-1=1-2n,当n=6时,S6=-63.123454.已知在数列an中,a1=1,对于任意的nN+,都有a1a2a3an=n2,则a10=.12345
